Teorema de Gauss Gravitatorio

Existe una analogía entre el campo eléctrico y gravitatorio. La fuerza de Coulomb y la fuerza gravitatoria de Newton tienen muchas similitudes entre ellas. Tales como su dirección radial, la dependencia del producto de sus cargas o masas respectivamente, y el hecho de ser inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.

Dada esta similitud, es posible aplicar conceptos que suelen utilizarse en campos eléctricos a los campos gravitatorios. Es decir que así como existe una Teorema de Gauss para campos eléctricos, también lo hay para gravitatorios.

Las leyes de interacción para cada caso son:

$ \overline{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^3} \overline{r} $

$ \overline{g} =- G \frac{M}{r^3} \overline{r} $ ¹

Por analogía obtenemos las siguientes equivalencias:

• Campos - $ ( \overline{E} \leftrightarrow \overline{g} )$
• Fuentes de campos - $ ( q \leftrightarrow M ) $
• Constantes Universales - $ \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \leftrightarrow - G \right) $

Como el Teorema de Gauss para la Electrostática es $$ \oint_{S} \overline{E} \cdot d \overline{s} =\frac{q(S)}{\epsilon_0} $$

donde $q(S)$ es la carga interior a la superficie $S$. Usando las equivalencias podemos expresar el Teorema de Gauss para la Gravitación como:

$$ \boxed{\oint_{S} \overline{g} \cdot d \overline{s} = - 4 \pi G M(S)} $$

Ejemplo

Para un planeta de densidad constante $\rho$ y radio $R$, la masa encerrada por la superficie interior $S(r)$ de radio $r<R$ estará dada por, nada mas ni nada menos, que: $$ M(S(r)) = \int_V \rho dV = \frac{4}{3} \pi \rho r^3 ~~~~~~~~~ (1) $$

Si usamos el teorema que acabamos de sacar del horno podremos obtener el campo gravitatorio a la distancia $r$ del origen. Para ello debemos aprovechar la simetría, que obliga a $\overline{g}$ a ser perpendicular a la superficie esférica $S(r)$ y constante en ella. Así, podemos realizar el siguiente desarrollo

$$ \begin{split} \oint_{S(r)} \overline{g} \cdot d \overline{s} &= - 4 \pi G M(S(r)) \\ \oint_{S(r)} g(r) ds &= - 4 \pi G M(S(r)) \\ g(r) \oint_{S(r)} ds &= - 4 \pi G M(S(r)) \\ g(r) 4 \pi \rho r^2 &= - 4 \pi G M(S(r)), \end{split} $$

es decir,

$$ g(r) = -\frac{G M(S(r))}{r^2} $$

y por lo tanto, usando lo obtenido en (1):

$$ g(r)= - \frac{4 \pi G \rho}{3} r $$ es decir, el ¡campo gravitatorio dentro de un planeta de densidad constante tiene una dependencia lineal con la distancia a su centro! ¿Soy yo o hay un aroma a un oscilador armónico?

¿Y para que me puede servir el Teorema de Gauss para campos gravitatorios?, ayudame a seguir desarrollando contenido conciso y sustancial como este haciendo tu aporte y te muestro cómo se usa para resolver un problema del ingreso. Gracias!