Rozamiento en una cuerda

Enunciado

Una cuerda inextensible se enrolla alrededor de un poste a lo largo de una una sección angular $\alpha$ (Figura 1). ¿Qué fuerza mínima $T_0$ se debe realizar para equilibrar la fuerza $T$ que se ejerce del otro lado? El coeficiente de rozamiento estático entre la cuerda y el poste es $\mu$.

Resolución

Es muy poco común encontrarse con problemas en los que sea necesario estudiar el rozamiento entre una cuerda y algún cuerpo. Pero, tratando de romper moldes y sin muchas vueltas, veamos como podemos analizar este problema.

Consideramos un segmento de cuerda enrrollado en la sección $\Delta \alpha$ y estudiemos las fuerzas que actúan sobre ella.

• Por un lado, tendremos que las tensiones en los extremos del segmento, que podemos denominar $T$ y $T+\Delta T$ (ver la Figura 2). Con esta notación estamos diciendo que el módulo de ambas tensiones difiere en $\Delta T$.
• La composición de todas las fuerzas normales en cada punto de la longitud de arco, dada por el ángulo $\Delta \alpha$, esta dirigida a lo largo del eje que divide en dos a dicho ángulo y la denominaremos $\Delta N$. Podríamos decir que las componentes cada fuerza normal se van anulando de a pares a lo largo de la dirección normal a la de tal eje y solo sobreviven las contribuciones dirigidas a lo largo de la misma.
• En cada punto, a su vez, habrá una fuerza de rozamiento $F_r$ entre la cuerda y el poste.

Nos concentremos por un rato en las fuerzas de tensión y la resultante de las fuerzas normales para armar un diagrama donde se observa la relación direccional de las tres fuerzas (recuadro de la Figura 2). Es de esperar que, para que la cuerda se encuentre en equilibrio en la dirección radial, la fuerza $\Delta N$ se equilibre con las componentes radiales de las fuerzas $T$ y $ T + \Delta T$. Las otras fuerzas intervinientes, las de rozamiento $F_r$, son tangenciales y no intervienen en este balance radial. De esta manera, resulta que:

$$ \begin{split} \Delta N &= T \sin (\frac{\Delta \alpha}{2}) + (T+\Delta T) \sin (\frac{\Delta \alpha}{2}) \\ \Delta N &=(2T+\Delta T) \sin (\frac{\Delta \alpha}{2}) \end{split} $$

Si dividimos por $\Delta \alpha$ y aplicamos el límite cuando tiende a cero $$ \frac{dN}{d \alpha} = \lim_{ \Delta \alpha \to 0} \frac{\Delta N}{\Delta \alpha}, $$ tendremos que

$$ \frac{dN}{d \alpha}=\left[ \lim_{ \Delta \alpha \rightarrow 0} ( 2T + \Delta T) \right] \left[ \lim_{ \Delta \alpha \rightarrow 0} \frac{\sin (\frac{\Delta \alpha}{2})}{\Delta \alpha} \right]. $$

Estos límites están dados por $$ \begin{split} \lim_{ \Delta \alpha \rightarrow 0} ( 2T + \Delta T) &= 2T \\ \lim_{ \Delta \alpha \rightarrow 0} \frac{\sin (\frac{\Delta \alpha}{2})}{\Delta \alpha}&=\frac{1}{2} \end{split} $$

Ya que $\Delta T$ tiende a cero cuando $\Delta \alpha$ lo hace y hemos usado la regla de L’Hôpital para determinar el segundo límite. Es así que

$$ \frac{dN}{d \alpha}=T. $$

Cuando $T_0$ es mínimo, el equilibrio se encuentra en su situación límite, es decir, una situación de rozamiento estático máximo. En ese caso $F_{r, \text{máx}}= \mu N$ en cada punto de contacto,

$$ \frac{dF_{r, \text{máx}}}{d \alpha}=\mu T. $$

Además, dado que la soga también está en equilibrio en la dirección tangencial, se debe cumplir que la fuerza de rozamiento compense la tensión en cada punto $T = F_{r, \text{máx}}$ y así llegamos a la siguiente ecuación diferencial para $T$ como función de $ \alpha$

$$ \frac{dT}{d \alpha}=\mu T $$

que integrando entre $T_0$ y $T$ y entre $0$ y $\alpha$ resulta que

$$ \ln \left( \frac{T}{T_0} \right)=\mu \alpha, $$

entonces

$$ \boxed{T=T_0 e^{\mu \alpha} ~~ \text{ ó }~~ T_0=T e^{-\mu \alpha}}. $$

Es decir, la relación entre las tensiones crece (o decrece) exponencialmente con el ángulo $\alpha$. Cabe aclarar que en este caso la fuerza de rozamiento se dirige en el sentido contrario de aumento del ángulo $\alpha$, de manera que tiene el mismo sentido que marca $T_0$ y juntas logran equilibrar el efecto de $T$.

¡Esto es realmente increíble! Por si no quedo claro, este resultado nos dice que si envuelvo una cuerda en un cilindro macizo y en un extremo se ejerce una tensión $T$, para mantener el sistema en equilibrio bastará con que se realice una tensión $T_0$ que decrece exponencialmente con el ángulo en que se haya enlazado la cuerda. Por ejemplo, si tenemos un coeficiente estático de $\mu=0.2$ y realizamos apenas 4 vueltas, es decir, $\alpha=8 \pi$ entonces ¡¡$T_0$ puede ser $152$ veces menor a $T$!!

A este fenómeno lo conocen muy bien quienes amarran los barcos en el muelle, como se muestra en la Figura 2.

Este es un tema muy poco tratado en la basta bibliografía. Ayudame a seguir desarrollando contenido conciso y sustancial como este haciendo tu aporte libre y voluntario. Gracias!