Por sus características, en cuanto a las consecuencias de su propia definición, un conductor ideal en equilibrio no contiene cargas en su interior y su campo eléctrico es nulo en tal región (dibujo izquierdo de la Figura A). En consecuencia, si se retira un cierto volumen de su interior (se crea una cavidad cerrada), esto no cambia el campo en ningún lugar, es decir, no afecta la distribución de cargas en equilibrio (dibujo derecho de la Figura A). Esto significa que la carga excedente se distribuye en un conductor con una cavidad de la misma manera que en un conductor uniforme, es decir, en su superficie exterior.
Figura A
El interior de un conductor es eléctricamente neutro y el campo eléctrico es nulo en toda su extensión (izquierda). Por ello, si quitamos parte de esa región nada cambiará en ninguno de esos aspectos (derecha). Esto tiene como consecuencia que las cargas externas no influyen en el campo eléctrico en una cavidad existente en su interior.
Así, en ausencia de cargas eléctricas dentro de la cavidad, en ella el campo eléctrico es igual a cero. Las cargas externas, incluidas las cargas en la superficie exterior del conductor, no crean ningún campo eléctrico en la cavidad dentro del conductor. Esto forma la base del blindaje electrostático, es decir, el aislamiento de cuerpos, por ejemplo, instrumentos de medición, de la influencia de campos electrostáticos externos. En la práctica, una cáscara conductora sólida puede ser reemplazada por una rejilla metálica suficientemente densa.
La nulidad del campo eléctrico dentro de una cavidad vacía puede probarse de otra manera. Tomemos una superficie cerrada $\mathcal{S}$ que envuelva la cavidad y que esté completamente en el material del conductor. Dado que el campo $E$ es igual a cero dentro del conductor, el flujo de $E$ a través de la superficie $\mathcal{S}$ también es igual a cero. Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Gauss, la carga total dentro de $\mathcal{S}$ también es igual a cero. Esto no excluye la situación representada en la Figura B, en donde la superficie de la cavidad contiene cantidades iguales de cargas positivas y negativas. Sin embargo, esta suposición está prohibida por otro teorema, es decir, el teorema sobre las características conservativas2 (irrotacionales) del campo electrostático. De hecho, si la curva cerrada $\mathcal{C}$ cruza la cavidad a lo largo de una de las líneas del campo $E$ y se cierra en el material del conductor (ver Figura B): está claro que el integral de línea del campo a lo largo de la curva es distinta de cero, lo cual está en contradicción con las propiedades conservativas del campo electrostático.
Figura B
Por el teorema de Gauss, la carga total interior a la superficie $\mathcal{S}$ debe ser nula. Podría pasar que haya una distribución en la superficie como la mostrada, pero ello es incompatible con las propiedades conservativas del campo electrostático, ya que la circulación a lo largo de la curva cerrada $\mathcal{C}$ no sería nula.
Los de adentro también son de palo
Consideremos ahora el caso en que la cavidad no está vacía pero contiene una cierta carga eléctrica $q$ (o varias cargas) como muestra el esquema de la Figura C. Supongamos también que todo el espacio exterior está lleno de un medio conductor. En equilibrio, el campo en este medio es igual a cero, lo que significa que el medio es eléctricamente neutro y no contiene cargas excedentes.
Figura C
Un conductor se extiende por todo el espacio salvo por una cavidad finita en la que se encuentra una carga puntual $q$. Dicha carga y la inducida en la pared de la cavidad producen un campo nulo en el interior del conductor.
Dado que $E = 0$ dentro del conductor, el flujo del campo a través de una superficie cerrada que rodea la cavidad también es igual a cero. De acuerdo con el teorema de Gauss, esto significa que la suma algebraica de las cargas dentro de esta superficie cerrada también es igual a cero. Por lo tanto, la suma de las cargas inducidas en la superficie de la cavidad es igual en magnitud y opuesta en signo a la suma de las cargas dentro de la cavidad, es decir, $-q$. En equilibrio, las cargas inducidas en la superficie de la cavidad se disponen de manera que compensen completamente, en el espacio fuera de la cavidad, el campo creado por las cargas ubicadas dentro de la cavidad (Figura C).
Dado que el interior del conductor es eléctricamente neutro (no tiene cargas excedentes) en todas partes, no influye en el campo eléctrico de ninguna manera. Por lo tanto, si retiramos material, dejando solo una cáscara conductora alrededor de la cavidad, el campo que producen la carga $q$ y la carga inducida en la pared de la cavidad no cambiará en ningún lugar y permanecerá igual a cero más allá de esta cáscara (ver Figura D ).
Figura D
La neutralidad de carga del interior de un conductor y el hecho de que el campo es nulo en toda extensión, implica que los efectos producidos por al carga $q$ y la inducida en la pared de la cavidad no se verán alterados si en lugar de que el conductor se extienda por todo el espacio (salvo la cavidad) sólo se extienda en una región finita formado una casca conductora. Es decir, en esta situación, también es nula la superposición de los campos producidos por la carga $q$ y la inducida en la superficie interior. En el esquema no está representada la distribución de cargas en la superficie externa, para resaltar el rol de las cargas internas, pero tales distribuciones sí producirán campo eléctrico en la región externa.
Así, el campo producido por las cargas rodeadas por una cáscara conductora y las cargas inducidas en la superficie de la cavidad (en la superficie interna de la cáscara) es igual a cero en todo el espacio exterior. Es importante resaltar que estamos hablando exclusivamente del campo producidos por esas cargas, ya que las cargas que se distribuyan en la superficie externa si serán las capaces de producir campo en el exterior.
Independencia electrostática en una cáscara conductora
Para sintetizar todo lo analizado, podemos expresar el siguiente resultado que está dotado de una gran capacidad de aplicación en diversos problemas:
Una cáscara conductora cerrada divide todo el espacio en partes internas y externas que son completamente independientes entre sí respecto a los campos eléctricos.
Esto puede interpretarse de la siguiente manera: cualquier desplazamiento arbitrario de las cargas dentro de la cáscara no introduce ningún cambio en el campo del espacio exterior, y por lo tanto la distribución de la carga en la superficie exterior de la cáscara permanece sin cambios. Lo mismo se refiere al campo dentro de la cavidad (si contiene cargas) y a la distribución de las cargas inducidas en las paredes de la cavidad: también permanecerán sin cambios ante el desplazamiento de cargas fuera de la cáscara. Naturalmente, los argumentos anteriores son aplicables solo en el marco de la electrostática.
Ejemplo
Una carga puntual $q$ está dentro de una cáscara eléctricamente neutra cuyas superficies son esféricas (Figura E). Encuentre el potencial $V$ en el punto $P$ que se encuentra fuera de la cáscara a una distancia $r$ del centro $O$ de la superficie exterior.
Figura E
Antes de leer la resolución intenta hacerlo por tu cuenta.
Resolución
El campo en el punto $P$ está determinado únicamente por las cargas inducidas en la superficie esférica exterior ya que, como se demostró anteriormente, el campo generado por la carga puntual $q$ y las cargas inducidas en la superficie interior de la esfera es igual a cero en todas partes fuera de la cavidad. Al aplicar el teorema de Gauss a una superficie que se encuentra solo en la parte interior del casquete, como el campo es nulo, resulta que la pared de la cavidad (superficie interna) debe tener una cantidad de carga total igual a $-q$ (Figura F). Como el conductor es eléctricamente neutro, la carga en la superficie exterior debe ser igual a $q$. Además, en vista de la simetría, la carga en la superficie exterior de la cáscara no se ve afectada por el campo que producen las cargas interiores y por lo tanto se distribuye uniformemente. Así, el potencial en el exterior es equivalente al de una carga $q$ ubicada en el centro de la esfera
$$
V (r)= k \frac{q}{r}.
$$
Y una cuestión notable ¡el resultado es independiente de la posición de la carga $q$! Es más, este ejemplo tiene exactamente el mismo desarrollo si en lugar de una carga puntual se tendría cualquier tipo de distribución con una carga total $q$. La independencia electrostática producida por una cáscara conductora es un resultado con un alto grado de generalidad.
Figura F
¿Qué cambia si el conductor, en lugar de tener carga nula, tiene una carga neta igual a $Q$?
En este caso, es importante reconocer que la carga inducida en la pared interior seguirá siendo $-q$, de manera que se debe cumplir que $Q=q_{ext}+(-q)$ y, por lo tanto, la carga en la superficie exterior está dada por $q_{ext}=Q+q$. Ahora es esta cantidad de carga la que se distribuye uniformemente en la superficie exterior y genera un potencial dado por
$$
V (r)= k \frac{Q+q}{r}.
$$
Para finalizar, me gustaría resalta que todo el esfuerzo por entender este principio redundará en la resolución de una gran gama de problemas con gran seguridad y simpleza.
Siempre me ha costado entender las resoluciones de problemas o textos de la bibliografía general donde se usa este principio que subyace a las cáscaras conductores. Siempre se habla de sus consecuencias sin explicitarlo con suficiente claridad y mucho menos es fácil encontrar algún texto que lo demuestre. Incluso a pesar de lo sencillo que es demostrarlo. Por ello, me tomé el trabajo de escribir este artículo. Me ha llevado bastante tiempo. Si valoras el esfuerzo, ayudame a seguir desarrollando contenido conciso y sustancial como este haciendo tu aporte libre y voluntario. Gracias!
«Los de afuera son de palo» es una frase que se usa para marcar un límite a una persona que se pronuncia respecto de un asunto que le es ajeno. Fue impulsada hacia la inmortalidad por el jugador de futbol uruguayo Obdulio Jacinto Varela durante el entretiempo del Maracanazo, partido en el que la selección uruguaya ganó el mundial de futbol del año 1950 superando a la selección local brasileña. Fue pronunciada en respuesta a un pedido de los dirigentes uruguayos a los jugadores de su selección: llevar adelante un partido tranquilo porque en el estadio había 200.000 enérgicos espectadores brasileños.
Un campo $\overline{E}$ es conservativo cuando cumple cualesquiera de las siguientes propiedades equivalentes:
$$
\begin{split}
&\bullet \text{El campo es irrotacional: } \nabla \times \overline{E}= \overline{0};\\
&\bullet \int_{A}^{B} \overline{E} \cdot d \overline{r} \text{ es independiente del camino que une los puntos } A \text{ y } B;\\
&\bullet \oint_{\mathcal{C}} \overline{E} \cdot d \overline{r} = 0 \text{ para cualquier curva cerrada } \mathcal{C}; \\
&\bullet \text{Existe una función potencial } V(\overline{r}) \text{ de la cual deriva, es decir, } \overline{E}= - \nabla V.
\end{split}
$$ ↩︎
