Aproximación de pequeñas oscilaciones

¿Conoces algún lugar donde haya ejemplos de pequeñas oscilaciones? Así empiezo a entender cómo se resuelven. Porque todos los libros que encontré se apoyan en mecánica analítica. -Tomas

La verdad no conozco ningún libro, aunque debe haber, donde se explique la aproximación de pequeñas oscilaciones para sistemas de un grado de libertad (que es lo que entra en el examen) con suficiente precisión y claridad. Pero les comparto una suerte de receta que escribí para que intenten aplicarla a los problemas que encuentren.

1) Oscilador Armónico

Tener bien estudiado el movimiento armónico simple, o como se lo llama en los pasillos, oscilador armónico. El corazón de ese fenómeno consiste en que la dinámica está caracterizada por una única variable $x$ que cumple con la ecuación diferencial

$$ \ddot{x}+\omega^2x=\alpha, $$

donde $\alpha$ es una constante y $\omega$ la frecuencia angular. Así, la solución a la ecuación de movimiento es de la forma

$$ x(t)=x_M \sin (\omega t + \phi), $$

de donde resulta que se trata de un movimiento de periodo $T=2 \pi/\omega$ y frecuencia $f=1/T=\omega / 2 \pi$. La amplitud de la oscilación $x_M$ y la fase inicial $\phi$ están determinadas por las condiciones iniciales $(x_0,v_0)$, ya que

$$ \begin{cases} \begin{split} x_0 &= x_M \sin (\phi) \\ v_0 &= \omega x_M \cos (\phi) \end{split} \end{cases} $$

y por lo tanto

$$ \begin{cases} \begin{split} & x_M^2 = x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2} \\ & \tan (\phi) =\frac{\omega x_0}{v_0}. \end{split} \end{cases} $$

También puede demostrarse una relación más general de donde proviene la relación para la amplitud. Si tenemos en cuenta que

$$ \begin{cases} \begin{split} x(t)&=x_M \sin (\omega t + \phi) \\ v(t)&=\omega x_M \cos (\omega t + \phi) \end{split} \end{cases} $$

resulta que

$$ 1 = \left( \frac{x}{x_M} \right)^2+\left( \frac{v}{\omega x_M} \right)^2 $$

que en el espacio de fases, donde se representa $v$ v.s. $x$, constituye una elipse.

En general, el los movimientos no tienen porque ser una oscilación armónica, pero bajo ciertas condiciones, el movimiento levemente apartado de posiciones de equilibrio estable pueden aproximarse a una oscilación armónica. Veamos como se realiza esta aproximación recordando qué significan conceptos como posición de equilibrio y la estabilidad de las mismas.

2) Posiciones de equilibrio

Es imperiosamente necesario saber identificar las posiciones de equilibrio, como aquellas tales que la suma de todas las fuerzas se anule. Es decir, pedimos que $\sum \bar{F}=\bar{0}$ y buscamos las posiciones que surgen de tal igualdad.

3) Ecuación de movimiento

Plantear la ecuación de dinámica que surge de las fuerzas intervinientes, es decir, $$ \sum \bar{F} = \frac{d \bar{p}}{dt} $$

El punto anterior puede insinuarnos qué origen de coordenadas elegir y seguro pudimos identificar simetrías que nos ayuden a elegir un sistema de coordenadas adecuado, por eso sirve hacerlo antes.

Desde un punto de vista matemático, $\sum \bar{F} = \frac{d \bar{p}}{dt}$ no es más que un sistema de ecuaciones diferenciales que hay que trabajar para reducir a una sola ecuación diferencial en una variable (cuando se puede hacer esto significa que la posición del sistema se puede caracterizar por una variable y se dice que tiene un grado de libertad). Muchas veces, tal ecuación es la que se denomina ecuación de movimiento. En ciertas condiciones (no hay: rozamientos dinámicos, fuerzas dependientes de la velocidad, etc) la ecuación es de la forma

$$ \ddot{x} = f(x).
$$

4) Caracterización de las posiciones de equilibrio (estabilidad)

Para cada una de las posiciones de equilibrio obtenidas en 2) habrá un valor de $x$ asociado, le llamemos $x_e$. Sólo con esta información ya tenemos algo importante que decir sobre la función $f(x)$. Como $x_e$ está asociado a una posición de equilibrio, para tal valor tenemos que $\ddot{x}|_{x_e}=0$ y por lo tanto:

$$ f(x_e)=0. $$

Para estudiar la estabilidad del equilibrio debemos estudiar como se comporta $f(x)$, es decir, convertimos un análisis dinámico en un análisis funcional. En el fondo, $f(x)$ es la representante de las contribuciones que hacen todas las fuerzas a la variación de la variable $x$, y por lo tanto, a la dinámica del sistema (a veces $f(x)$ es suma de componente de fuerzas otras es suma de torques, eso varía).

El análisis consiste en averiguar si $f(x)$ es restitutiva o no, es decir, estudiar cómo se comporta cuando nos apartamos un poco respecto de la posición de equilibrio. Si al cambiar levemente $x$, $f(x)$ tiene un signo contrario al cambio (se opone al mismo) entonces es restitutiva. Si el signo de $f(x)$ coincide con el cambio de $x$ (lo acompaña), no es restitutiva. O sea, imaginemos que estamos paraditos en una posición de equilibrio y nos movemos un poco a la derecha (aumento de $x$), si $f(x)$ no apunta hacia la izquierda (negativa), la tendencia será alejarnos del equilibrio. Cuando $f(x)$ es restitutiva, la posición de equilibrio es estable, sino es inestable.

5) Desarrollo en serie de Taylor

Muchas veces lo anterior se puede hacer con “las manos” y con poco formalismo, pero cuando el “ojo” no ayuda, viene a salvarnos el denominado desarrollo en serie de Taylor. Si $x_e$ es el valor de la variables asociada a la posición de equilibrio, podemos realizar un desarrollo en serie de Taylor de $f(x)$ alrededor de $x_e$ hasta primer orden,

$$ f(x)\approx f(x_e) + f’(x_e) (x-x_e) $$

como una aproximación que se sustenta en el hecho de que nos apartamos del equilibrio muy poquito y por lo tanto los términos de mayor orden son sucesivamente más pequeños por ser pequeña la diferencia $(x-x_e)$ y sus respectivas potencias.

$f’(x_e)$ es la primer derivada de $f$ en el equilibrio y como $f(x_e)=0$ entonces

$$ \begin{split} f(x)&\approx f’(x_e) (x-x_e) ~~~~~~~~~(1) \\ f(x)&\approx f’(x_e) \Delta x \end{split} $$

Donde vemos que para que $f(x)$ tenga signo contrario a $\Delta x$ entonces $f’(x_e)$ debe ser negativa. Es decir, el signo de la derivada de $f(x)$ en el equilibrio nos ayuda a discernir la estabilidad del equilibrio.

Si $f’(x_e) < 0 \Rightarrow x_e$ corresponde a un equilibrio estable
Si $f’(x_e) > 0 \Rightarrow x_e$ corresponde a un equilibrio inestable

6) Aproximación de pequeñas oscilaciones

Si remplazamos la aproximación (1) en la ecuación de movimiento $\ddot{x}= f(x)$, estaremos realizando una aproximación de pequeñas oscilaciones (que tiene sentido hacerla alrededor de posiciones de equilibrio estables). En términos concretos estamos linealizando la ecuación diferencial. Lo que obtenemos es algo así:

$$ \ddot{x}-f’(x_e)x=-f’(x_e) x_e. $$

Como decía mi abuelita, a lo feo hay que mirarlo bonito. En este caso podemos ver que tiene la forma

$$ \ddot{x}+\omega^2 x= \alpha. ~~~~~~~ \text{(un oscilador armónico!)} $$

Así, identificamos que la frecuencia angular de tal oscilación está dada por la ecuación $\omega^2 = - f’(x_e)$, que tiene sentido cuando el equilibrio es estable, ya que en ese caso $f’(x_e)$ es negativo. Con esta frecuencia, las condiciones iniciales y todo lo que debemos saber sobre un oscilador armónico completamos el análisis.

Si no has encontrado ningún libro que te explique la aproximación de pequeñas oscilaciones de esta forma, ayudame a seguir desarrollando contenido conciso y sustancial como este haciendo tu aporte libre y voluntario. Gracias!