Límites Dobles (Revolutions)

Esta es una suerte de reflexión sobre cómo estudiar la existencia de un límite doble sin recurrir a su definición topológica¹. Es común que me pregunten si existe alguna condición suficiente para asegurar la existencia del límite doble y, a su vez, he notado una gran cantidad de veces poca confianza para afirmar la existencia de ciertos límites cuya existencia es evidente. Este artículo pretende echar luz a estas cuestiones para las cuales, redundantemente, creo que la bibliografía de nivel básico universitario tiene sus limitaciones.

Ejemplo 1

Para que se entienda mejor, podemos comenzar con un ejemplo de una consulta que podría haber ocurrido. Nos piden estudiar la existencia del límite de la siguiente función en $(0,0)$

$$ f(x,y) = \begin{cases} &~~~y, ~~~~ \text{ si } x \geq 0 \\ &-y, ~~~~ \text{ si } x <0 \\ \end{cases} ~~~~~~ (1) $$

Hay tres estudiantes que se involucraron en la charla y tuvieron las siguientes reacciones para encarar el problema:

Samuel (quien inicia la consulta): “¿Alguien sabe cómo justificar la existencia o no? A mí me da buenas vibras de que existe pero no sé cómo justificarlo.”

Pau: “Yo demostraría que no existe porque si te aproximas por valores positivos es diferente que cuando lo haces por valores negativos.”

Germán: “Para demostrar que existe el límite de una función por partes, la única forma posible es hacerlo por la definición de límite. Si no existe, hay que usar coordenadas polares.”

Como me esforzaré en demostrarles luego, la existencia de este límite es evidente. En Samuel se nota la falta de confianza y herramientas para confirmarlo. Pareciera ser que necesita de alguna herramienta equivalente a la definición topológica de límite pero que sea menos técnica y evidencie fácilmente la existencia, podríamos decir que se trataría de una condición necesaria y suficiente para la existencia del límite. Por otro lado, Pau nos da un ejemplo claro y muy común: ante la duda, hay una tendencia a demostrar la inexistencia del límite usando condiciones necesarias. Esta tendencia no solo es generada por la duda, sino también por cierta corriente bibliográfica y académica que la promueve (por el énfasis que ponen en el usar las condiciones necesarias). Finalmente, Germán se impone con rigor diciéndonos que para demostrar la existencia no hay otro camino que el topológico, es decir, por definición. Bueno, vengo insinuando que esto no es necesariamente así. Y respecto de la inexistencia, nos dice que es necesario recurrir a las coordenadas polares que, al fin de cuentas, consiste en estudiar el límite por ciertos caminos particulares y usar una condición necesaria.

Son claras las diferencias en sus formas de encarar el problema, pero también es claro lo que tienen en común: ninguno de ellos se aventuró con convicción a recorrer un camino sencillo para decir que el límite existe.

Cuando me han preguntado y me preguntan “¿existe alguna condición suficiente para demostrar la existencia del límite?” suelo percibir que la pregunta surge de algo claramente emocional más que racional: buscan un alivio ante la titánica tarea de aplicar todas las condiciones necesarias para estudiar la existencia de los límites. Es más, ¡la mayoría de las veces me han hecho la pregunta luego de tratar de aplicarlas incluso para casos en los que el límite existe! En cuyo caso, tales condiciones son totalmente estériles, pues sirven para confirmar la inexistencia de un límite. La causa de llegar a esa situación es que no han adquirido las herramientas y claridad suficientes para confirmar la existencia del límite.

Después de varios intentos por tratar de dar alivio, puedo animarme a dar la siguiente respuesta: no sólo existe una condición suficiente para la existencia del límite, sino también una condición necesaria y suficiente. Es de ella de donde derivan la mayoría de las condiciones necesarias que se suelen explicitar en la bibliografía general de cálculo vectorial. Como esta condición no suele estar presente en ella, debemos realizar un cambio de paradigma, lo cual lleva trabajo pero intentaré convencerte de que simplifica mucho la resolución de los problemas de esta índole. Veamos de qué se trata.

Condición necesaria y suficiente para la existencia del límite doble

Existe un teorema general que se estudia en topología, que es una condición necesaria y suficiente para la existencia de un límite. Muchas de las condiciones necesarias surgen de él, pero también nos brinda una condición suficiente. Como no he visto en la bibliografía usual de las carreras científicas ninguna versión del mismo, me tomé el trabajo de escribir su aplicación a funciones reales de variables reales para estudiar límites dobles.

La idea es sencilla de entender. Pero antes de enunciarlo construyamos las ideas de a poco. Pensemos en un punto de acumulación $\overline{a}$ del dominio $D$ de una función $f$. Ahora imaginemos que es posible construir un subconjunto del domino $W$ que tenga a $\overline{a}$ como punto de acumulación. Y que, a su vez, se puede construir como la unión de ciertos subconjuntos, es decir, $W= W_1 \cup \cdots \cup W_n $. Pensemos además que $\overline{a}$ es también un punto de acumulación de cada uno de dichos subconjuntos. Un ejemplo de esta idea está representado en la Figura A.

Por cualesquiera de las regiones $W_i$ se pueden construir caminos cuyos límites pueden o no existir. En el caso de que el límite de cada uno de ellos existe, podemos definir el límite por tal región como $\lim_{\overline{x}\in W_i \to \overline{a}} f (\bar{x})$. Y ahora sí, sobre este terreno podemos construir la idea buscada: el límite doble existirá si y solo sí los límites $\lim_{\bar{x}\in W_i \to \overline{a}} f (\bar{x})$ por cada una de las regiones $W_i$ existen y son iguales.

Enunciemos el teorema antes de regresar al ejemplo inicial:

Condición necesaria y suficiente para la existencia del límite doble²:
Sea una función $f : D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y $\overline{a}$ un un punto de acumulación del dominio $D$ y de un subconjunto $W \subset D$. Supongamos que es posible pensar al subconjunto $W$ como la unión de otros subconjuntos $W= W_1 \cup \cdots \cup W_n $, los cuales también tienen a $\overline{a}$ como punto de acumulación. Entonces existe $\lim_{\bar{x} \to \overline{a}} f (\bar{x})$ si y sólo si existen los límites
$$ \lim_{\bar{x}\in W_i \to \overline{a}} f (\bar{x}) $$ para todo $i \in \lbrace 1, \dots, n \rbrace$ y todos coinciden. En tal caso $\lim_{\bar{x} \to \overline{a}} f (\bar{x})$ es igual al límite común.

Veamos cómo es que, a la luz de este teorema, es evidente la existencia del límite del ejemplo inicial en $(0,0)$. El dominio de la función (1) es claramente todo $\mathbb{R}^2$ y podemos construir un subconjunto $W$ conformado por la unión de dos subconjuntos $W_1$ y $W_2$ como está representado en la Figura B. Todos ellos tienen a $(0,0)$ como punto de acumulación. Además, en $W_1$, $x<0$ y la función toma valores iguales a $-y$. En $W_2$, $x \geq 0$ y la función coincide con $y$.

Si recorremos cualquier camino por $W_1$ tendremos que:

$$ \begin{split} \lim_{\bar{x} \in W_1 \to \bar{0}} f(\bar{x}) &= \lim_{\bar{x} \to \bar{0}} f(\bar{x}\in W_1) \\ &=\lim_{\bar{x} \to \bar{0}} (-y) \\ &=\lim_{y \to 0} (-y) \\ &=0. \end{split} $$

Análogamente, recorriendo cualquier camino por $W_2$

$$ \begin{split} \lim_{\bar{x} \in W_2 \to \bar{0}} f(\bar{x}) &= \lim_{\bar{x} \to \bar{0}} f(\bar{x}\in W_2) \\ &=\lim_{\bar{x} \to \bar{0}} (y) \\ &=\lim_{y \to 0} (-y) \\ &=0. \end{split} $$

Así, como los límites por todos los conjuntos que componen el subconjunto $W$ existen y son iguales a cero, el límite de la función existe y tiene el mismo valor. He tratado de ir paso a paso, pero incluso sin el formalismo, es posible realizar los mismos razonamientos «con las manos» luego de practicar un poco.

Ejemplo 2

Vamos a un ejemplo un poco más complejo, donde podemos ver el verdadero poder de aplicación de este teorema. Estudiemos la existencia del límite en $(0,0)$ de la función:

$$ f(x,y) = \begin{cases} \begin{split} y & ~ ~ \text{ si } |y| \geq |x| \\ 0 & ~ ~ \text{ en cualquier otro caso}. \end{split} \end{cases} $$

Como se ve en la Figura C, podemos construir un subconjunto $W$ que puede concebirse como la unión de cuatro conjuntos $W_1$, $W_2$, $W_3$ y $W_4$. Nuevamente, vemos que todos que tienen a $(0,0)$ como punto de acumulación. En $W_1$ y $W_3$, $|y| \geq |x|$, es decir, la función vale $y$. Por lo tanto en $W_2$ y $W_4$ la función es nula.

No es difícil demostrar que los límites por las cuatro regiones existen y son iguales a $0$. Por ejemplo, para las regiones $W_1$ y $W_3$ tenemos

$$ \begin{split} \lim_{\bar{x} \in W_1 \to \bar{0}} f(\bar{x}) &= \lim_{\bar{x} \to \bar{0}} f(\bar{x}\in W_1) \\ &=\lim_{\bar{x} \to \bar{0}} y \\ &=\lim_{y \to 0} y \\ &=0, \end{split} $$

$$ \begin{split} \lim_{\bar{x} \in W_3 \to \bar{0}} f(\bar{x}) &= \lim_{\bar{x} \to \bar{0}} f(\bar{x}\in W_3) \\ &=\lim_{\bar{x} \to \bar{0}} 0 \\ &=0. \end{split} $$

Para las otras dos es totalmente análogo. En fin, todos los límites existen y son iguales a 0, así que también existe el límite de la función en un sentido general.

Hasta aquí demostramos de sobra la potencia que tiene este resultado para asegurar con firmeza y simpleza la existencia de un límite. Pero la cuestión no termina aquí, porque el poder para demostrar la inexistencia de un límite es aún mayor.

Si somos capaces de construir un subconjunto $W$ del dominio $D$, formado por la unión de conjuntos $W_i$ que tengan al punto de interés $\overline{a}$ como punto de acumulación, y encontramos que hay uno de tales conjuntos $W_j$ en los que el límite no existe entonces podemos afirmar la inexistencia del límite de la función. Y para ello solo basta con encontrar un sólo camino en $W_j$ para el cual no existe el límite. Incluso, en caso de existir los límites para todas las regiones, si existen al menos dos de ellas tales que los límites no coinciden, podemos afirmar la inexistencia. En fin, la mayoría de las condiciones necesarias derivan de estos razonamientos. Para cerrar, veamos un ejemplo de esto.

Ejemplo 3

Nuevamente queremos estudiar el límite de una función en $(0,0)$, se trata de $$ f(x,y) = \begin{cases} \begin{split} 1 & ~ ~ \text{ si } |y| > x^2 \land x=0 \\ 0 & ~ ~ \text{ en cualquier otro caso} \end{split} \end{cases} $$

Podemos construir un subconjunto $W$ formado por la unión de seis subconjuntos como se representa en la Figura D, siendo el punto en cuestión un punto de acumulación de todos ellos. Se puede demostrar que mientras los límites por $W_1$, $W_2$, $W_3$ y $W_4$ (en los cuales $|y| > x^2 \land x=0$) son iguales a $1$, en $W_5$ y $W_6$ los límites son iguales a $0$. Por lo tanto, el límite no existe.

Agradecimientos

Quisiera agradecer a Adriano Guinart por las clases que compartimos y a raíz de las cuales pude dar este último salto en intentar contribuir en el aprendizaje de este tema. También quisiera agradecer a las personas de carne y hueso que motivaron a los personajes ficticios del Ejemplo 1.

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