Límites Dobles

Esta es una suerte de reflexión sobre cómo estudiar la existencia de un límite doble sin recurrir a su definición topológica¹. De alguna forma termina siendo una suerte de receta en la que primero imponemos diversas condiciones necesarias que, de no cumplirse, estaremos seguros de la inexistencia del límite. A su vez, es común que me pregunten si existe alguna condición suficiente para asegurar la existencia del límite doble, entonces también me tomé el trabajo de escribir un poco sobre el tema en los últimos párrafos.

Condición necesaria en Límites Iterados

Teorema 1: Sea $f : D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, y $\overline{a}= (a,b) \in D’$ y supongamos que existen el límite doble y los iterados en $\overline{a}$. Entonces, los tres límites coinciden.

Si el límite existe y los iterados también, deben ser iguales. Esto nos sirve para saber cuando es que no existe el límite doble, pero para eso los límites iterados deben existir y ser diferentes.

Si alguno de los límites iterados no existe, no podemos decir nada. Un buen ejemplo es el límite de la función $f(x,y)=x sin(1/y)$, para la cual no existe un límite iterado en $(0,0)$ pero el límite si existe.

Para calcular los límites iterados, vale la pena aplicar los límites en orden y con buen criterio. Es decir, para calcular $$ l_{xy} = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y), $$

vale la pena primero calcular $g(y)= \lim_{x \to a} f(x,y)$ y entender bien cuál es el dominio y comportamiento de dicha función. En caso de que exista, debemos ser capaces de dibujar su comportamiento (vale la pena hacerlo) y luego determinar el limite iterado como $l_{xy} = \lim_{y \to b} g(y)$.

Condiciones necesarias en límites por un camino particular

Teorema 2: Sea $f : D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, y $\overline{a}= (a,b) \in D’$. Sea también $S$ cualquier conjunto de puntos de $\mathbb{R}^2$ que tiene como punto de acumulación al punto $\overline{a}$. Si existe $l$, el límite de $f$ en $\overline{a}$, entonces tambien existe el límite por el camino $S$, $l_S= \lim_{\overline{x} \in S \to \overline{a}} f(\overline{x})$, y además coinciden $l =l_S$.

1. Si el límite existe y también lo hace el límite por algún camino particular, deben coincidir. Así, sucede lo mismo que con los límites iterados, si encontramos dos límites por dos caminos particulares diferentes y éstos no coinciden, entonces el límite doble no existe.

2. También podemos hacer una mezcla, si existe algún límite iterado y este no coincide con el límite por algún camino particular, entonces no existe el límite doble.

3. Para el caso de los límites por un camino particular, se nos suma una herramienta más: en el caso de que el límite no exista por algún camino, entonces no existe el límite doble. Es decir, para ponerlo en otras palabras, si somos capaces de encontrar un camino por el cuál no existe el límite podemos asegurar que no existe el límite doble.

Límites polares

Una forma de aprovechar la conclusión del punto anterior es calcular el límite a través de una haz de caminos rectos que converjan al punto en cuestión. El conjunto de tales límites se denominan polares y pueden interpretarse como una función del ángulo que subyacen respecto de alguna dirección.

Así, si encontramos algún ángulo para el cuál el límite no existe podemos deducir la inexistencia del límite doble. Igualmente, si encontramos que el límite depende del ángulo, entonces existirían limites por caminos particulares que son diferentes y por lo tanto no puede existir el límite doble.

Más precisamente, si estamos estudiando el límite de una función $f(\bar{x})$ en el punto $\overline{a}= (a,b)$, debemos definir un camino dado por la parametrización

$$ \bar{x} =(a+r \cos \theta, b+r\sin \theta ) $$

y determinar el límite

$$ l_{\theta} = \lim_{r \to 0} f(a+r \cos \theta, b+r \sin \theta). $$

Este límite debe existir para todo $\theta$ y al mismo tiempo debe ser independientes de $\theta$, de lo contrario el límite no existe.

La mayoría de los los límites que no existen no pueden superar la condición anterior. Pero ¿qué pasa si los limites polares existen y son todos iguales? ¿puedo asegurar la existencia del límite? No nos olvidemos que son condiciones necesarias, y por lo tanto, la respuesta es que la existencia e igualdad de todos los límites polares no aseguran la existencia del límite doble.

¿Y como seguimos en el caso de que ninguna de las estrategias anteriores arroje un resultado concreto? Es decir, si la función cumple con todas las condiciones necesarias y no tengo forma de saber si el límite existe o no ¿como seguir?. Para eso existe la siguiente condición suficiente.

Condición suficiente para la existencia del límite doble

Existiendo los límites polares, si son independientes del ángulo y la función está acotada por un infinitésimo en un entorno del punto en cuestión, podemos asegurar que el límite existe. Aquí nos vamos a poner la corbatita e invocar al formalismo, para ser bien precisos, ya que no alcanzan las palabras:

Teorema 3: Supongamos que existe $\lim_{r \to 0} f(a+r \cos \theta, b+r \sin \theta) = l$ y no depende de $\theta \in \left[ 0, 2 \pi \right]$. Si existe la función $F$ de variable real tal que $\lim_{r \to 0} F(r)=0$ de modo que $|f(a+r \cos \theta, b+r \sin \theta)- l| \leq F(r)$ para todo $r$ y para todo $\theta$, entonces $\lim_{(x,y) \to (a,b) }f(x,y) = l $.

Para que se entienda mejor, veamos el siguiente ejemplo. Estudiemos el límite de la función $$ f(x,y) = \begin{cases} \begin{split} y & ~ ~ \text{ si } |y| \geq |x| \\ 0 & ~ ~ \text{ en cualquier otro caso} \end{split} \end{cases} $$ en el punto $(0,0)$. El teorema nos exige expresar la composición $$ f(r \cos \theta,r \sin \theta) = \begin{cases} \begin{split} r \sin \theta & ~ ~ ~ ~ \text{ si } r |\sin \theta| \geq r|\cos \theta| \\ 0 & ~ ~ ~ ~ \text{ en cualquier otro caso} \end{split} \end{cases} $$ que teniendo en cuenta el caso trivial en que $r=0$, puede reescribirse con mayor prolijidad como $$ f(r \cos \theta,r \sin \theta) = \begin{cases} \begin{split} r \sin \theta& ~ ~ ~ ~ \text{ si } |\sin \theta| \geq |\cos \theta| \\ 0& ~ ~ ~ ~ \text{ en cualquier otro caso} \end{split} \end{cases}. $$

Rápidamente vemos que $\lim_{r \to 0} f(r \cos \theta,r \sin \theta) = 0 $. Hasta aquí no podemos concluir nada sobre la existencia del límite. Sin embargo, podemos ver que existe la función $F(r) = r$ tal que $$ |f(r \cos \theta,r \sin \theta)| = \begin{cases} \begin{split} r|\sin \theta| & ~ ~ ~ ~ \text{ si } |\sin \theta| \geq |\cos \theta| \\ 0& ~ ~ ~ ~ \text{ en cualquier otro caso} \end{split} \leq r = F(r) \end{cases}. $$ Y además, $\lim_{r \to 0} F(r) =0$, entonces podemos estar seguros de que el límite doble existe y es tal que $\lim_{(x,y) \to (0,0) }f(x,y) = 0 $.