N°12-2025

Enunciado

Una fuente de sonido emite en el aire ondas planas de frecuencia $440 ~ \text{Hz}$ que impactan frontalmente contra una pared impermeable al sonido salvo por dos rendijas paralelas de ancho $a = 1 ~ \text{mm}$ separadas una distancia de $d = 1 ~ \text{m}$. La velocidad del sonido en el aire es $c \approx 330 ~ \text{m/s}$.

a) Calcular las direcciones hacia donde el sonido transmitido tendrá máxima amplitud. Notar que las rendijas son muy angostas comparado con la longitud de onda del sonido.

b) Recalcular los ángulos del inciso anterior para el caso en que la fuente se desplaza en la dirección del sonido pero en sentido contrario, alejándose de la pared a una velocidad $c/4$.

Resolución

Para una frecuencia $f=440~ \text{Hz}$, el ancho $a = 1 ~ \text{mm}$ de las rendijas es mucho menor que la longitud de onda del sonido $\lambda=\frac{c}{f}\approx 3/4 ~ \text{m} = 750 ~ \text{mm}$, podemos considerar a las rendijas como puntuales. Es decir, por el principio de Huygens, podemos considerarlas como nuevas fuentes puntuales.

En ambos incisos nos piden determinar los ángulos a los cuales la interferencia es máxima. El pedido ya tiene implícita la idea de que la dirección es independiente de la distancia entre el punto donde se mida la superposición y las rendijas. Y eso sólo sucede cuando tales distancias son muy grandes respecto de la distancia entre las rendijas, por lo que solo consideraremos esos casos.

a)

Estudiemos la interferencia de las ondas esféricas producidas en las rendijas en un punto ubicado a las distancias $r_1$ y $r_2$ de ellas (Figura A). La diferencia de fase entre las ondas es $k \Delta r/2$, con $k=2 \pi / \lambda$ el número de onda, y $\Delta r = r_2-r_1$ la diferencia de camino recorrido por las ondas. La interferencia produce amplitudes máximas cuando esta diferencia es un múltiplo entero de $\pi$

$$ k \frac{\Delta r}{2} = n \pi, ~~~~ n \in \mathrm{Z}, $$

es decir, cuando

$$ \Delta r = n \lambda. $$

Para caracterizar las direcciones de máxima interferencia podemos usar el ángulo $\theta$ entre el vector $\overline{r}_2$ y la recta normal a la pared donde se encuentran las rendijas (Figura A). Cuando $r_1,r_2 \gg d$, podemos realizar la aproximación

$$ \Delta r = d \sin \theta, $$

entonces

$$ \sin \theta = n \frac{\lambda}{d} = \frac{3}{4} n. ~~~~~ (1) $$

Como $|\sin \theta| \leq 1$, entonces $|n| \leq 4/3 $. Es decir, $n$ solo puede tomar alguno de los valores del conjunto $\lbrace 0,\pm 1\rbrace$, lo cual lleva a que los ángulos de interferencia constructiva son aquellos para los cuales

$$ \sin \theta \in \lbrace 0,\pm \frac{3}{4}\rbrace $$

es decir,

$$ \boxed{\theta \in \lbrace 0^{\circ},\pm 48.6 ^{\circ}\rbrace} $$

b)

Cuando la fuente se desplaza a una velocidad $v$ en sentido contrario a la onda, la longitud de onda será

$$ \lambda’ = \lambda + v T $$

donde $T$ es el período natural de la onda (medido con la fuente en reposo) e igual a $T=\lambda/c$, entonces

$$ \lambda’ = \lambda \left(1 + \frac{v}{c} \right) = \frac{5}{4} \lambda. $$

ya que $v=c/4$. Así, las direcciones de interferencia máxima se determinan de forma análoga a la relación (1):

$$ \sin \theta = n \frac{\lambda’}{d} = \frac{15}{16} n. $$

Lo cual sólo es posible si $|n| \leq 16/15 $, es decir, $n$ solo puede tomar alguno de los valores del conjunto $\lbrace 0,\pm 1\rbrace$ y por lo tanto

$$ \sin \theta \in \lbrace 0,\pm \frac{15}{16}\rbrace $$

o, equivalentemente

$$ \boxed{\theta \in \lbrace 0^{\circ},\pm 69.6 ^{\circ}\rbrace}. $$

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