N°11-2025

Enunciado

Hallar la función real $y(x)$ que es solución de:

$$ y’(x) = (y’’(x))^3, \quad y(0) = 1, \quad y’(0) = 1. $$

Resolución

Si definimos la función $u(x) = y’(x)$, el problema anterior se divide en dos

$$ \begin{cases} &\text{Problema A :} ~~ u = (u’(x))^3, \quad u(0) = 1 \\ &\text{Problema B :} ~~ y’(x) = u(x), \quad y(0) = 1. \end{cases} $$

Donde necesariamente debemos resolver primero el Problema A.

Problema A

Como la función trivial no puede ser solución (ya que existe un valor de $x$ donde $u$ es distinta de cero: $u(0) = 1$), por ellos podemos realizar el siguiente desarrollo sin problemas

$$ \begin{split} u’ &= u^{\frac{1}{3}} \\ \int_{1}^{u(x)} u^{-\frac{1}{3}} ~ du &= \int_{0}^{x} dx \\ \left[ \frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}} \right]_{1}^{u(x)} &= x \\ \left[ u(x)^{\frac{2}{3}} - 1 \right] &= \frac{2}{3}x \\ u(x)^{\frac{2}{3}} &= \frac{2}{3}x + 1 \end{split} $$

es decir, la solución general sería

$$ u(x) = \pm \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}} ~~~ \text{con } ~~~ x \geq -3/2 $$

pero solo la solución positiva cumple con la condición inicial $u(0) = 1$, entonces

$$ \boxed{u(x) = \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}} ~~~ \text{con } ~~~ x \geq -3/2}. $$

Problema B

Conociendo ahora $u(x)$, el segundo problema consiste en

$$ y’(x) = \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}}, \quad y(0) = 1 ~ \land ~ x \geq -3/2 $$

y podemos integrar de la siguiente manera

$$ \begin{split} y’(x)&= \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}} \\ \int_{1}^{y(x)} dy &= \int_{0}^{x} \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}} dx \\ y(x) - 1 &= \int_{0}^{x} \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}} dx \\ y(x) &=1 + \int_{0}^{x} \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}} dx \\ \end{split} $$

Para determinar la interal del segundo miembro podemos integrar indefinidamente realizando el cambio de variables $v= \frac{2}{3}x + 1$, de manera que

$$ \begin{split} I &= \int \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}} dx \\ &= \frac{3}{2} \int v^{\frac{3}{2}} dv \\ &= \frac{3}{2} \frac{2}{5} v^{\frac{5}{2}} \\ &= \frac{3}{5} v^{\frac{5}{2}} \\ &= \frac{3}{5} \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{5}{2}} \end{split} $$

entonces

$$ \begin{split} y(x) &=1 + \int_{0}^{x} \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{3}{2}} dx \\ &=1 + \frac{3}{5} \left( \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{5}{2}} -1 \right) \\ &= \frac{3}{5} \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{5}. \end{split} $$

Finalmente, la solución buscada es

$$ \boxed{y(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{2}{3}x + 1 \right]^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{5} ~~~ \text{con } ~~~ x \geq -3/2}. $$