N°10-2025

Enunciado

Se tiene un plano aislante infinito con una densidad de carga eléctrica uniforme $\sigma$. Se introduce una partícula puntual con carga $q$ y velocidad inicial $\vec{v}_0$ paralela al plano, a una distancia $d$ del mismo. Al mismo tiempo, se aplica un campo magnético para lograr que la velocidad de la partícula permanezca constante en el tiempo.

a) ¿Qué dirección y magnitud debe tener ese campo magnético? ¿Cómo depende de $d$?

b) Dejando fijo el campo magnético calculado anteriormente, describa cualitativamente qué sucede si se modifica el módulo o la dirección de la velocidad de la partícula.

Resolución

a)

Si $\hat{z}$ es el vector normal al plano, el campo eléctrico generado estará dado por:

$$ \bar{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{z} $$

entonces la fuerza eléctrica sobre la carga $q$ es

$$ \bar{F}_E = q \bar{E} = q \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{z}. $$

Si $\bar{B}$ es el campo magnético aplicado, la fuerza magnética será

$$ \bar{F}_B = q ~ \overline{v}_0 \times \bar{B}. $$

Para que el cuerpo mantenga su velocidad constante, es necesario que:

$$ \begin{split} \bar{F}_E + \bar{F}_B &= \overline{0} \\ q \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{z} + q ~ \overline{v}_0 \times \bar{B} &= \overline{0} \\ \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{z} + ~ \overline{v}_0 \times \bar{B} &= \overline{0}, \end{split} $$

es decir,

$$ \overline{v}_0 \times \bar{B} = - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{z} $$

donde podemos concluir que el campo magnético debe estar contenido en un plano normal a $\hat{z}$ (como en los ejemplos representados en la imágenes de la Figura A1). El ángulo $\alpha$ que forma $\bar{B}$ con $\bar{v}_0$ dependerá del signo de la densidad superficial de carga:

• si $ \sigma < 0$, entonces $0 < \alpha < \pi$;
• si $ \sigma > 0$, entonces $\pi< \alpha < 2 \pi$.

En cualquiera de esos casos

$$ v_0 ~ B ~\sin \alpha = - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $$

y por lo tanto

$$ \boxed{B = - \frac{\sigma}{2v_0 ~ \varepsilon_0 ~\sin \alpha }}. $$

Ninguno de los resultados obtenidos depende de la distancia $d$.

b)

Con las manos

A lo largo de la bibliografía usual y de los cursos de electromagnetismo básico, hay resultados conocidos. Una posible respuesta en el examen es recurrir a ellos, en caso de conocerlos. Veamos cuáles son y cómo ayudan a encontrar la respuesta.

• Comencemos considerando una región donde sólo hay campo magnético en la dirección $\bar{B}= B \hat{x}$. Si una partícula cargada ingresa a la región con una velocidad inicial perpendicular al campo $\overline{v}_0= v_0 \hat{y}$, entonces recorrerá una trayectoria circular en el plano perpendicular al campo. Es decir, la circunferencia estará contenida en el plano $YZ$ (Figura B1).

  

• Si al experimento mental anterior le agregamos un campo eléctrico $\bar{E}=E \hat{z}$ perpendicular al campo magnético y a la velocidad inicial ¿cómo se modificará la trayectoria? Al movimiento circular se le suma una traslación del centro en la dirección de la velocidad inicial, $\hat{y}$, a un ritmo constante. Se trata de una cicloide que está contenida en el mismo plano $YZ$ (Figura B2). Esto ocurriría si se modificase el módulo de la velocidad inicial (excluyendo el caso en que las fuerzas se anulan).

  

• Ahora, para agregarle un poco más de complejidad, pensamos que la velocidad inicial también tiene una componente en la dirección del campo eléctrico: $\overline{v}_0 = v_{0y} \hat{y} + v_{0z} \hat{z}$. Como la velocidad inicial sigue siendo perpendicular al campo magnético, no habrá componentes de las fuerzas en la dirección $\hat{x}$. Es decir, la trayectoria sigue contenida en el plano $YZ$ (donde están contenidos los vectores velocidad inicial y campo eléctrico). Sigue siendo una cicloide (Figura B3), con su centro en una recta paralela a $\hat{y}$ pero de mayor amplitud.

  

• Finalmente, cuando a la velocidad inicial le agregamos una coordenada paralela al campo magnético, $\overline{v}_0 = v_{0x} \hat{x} + v_{0y} \hat{y} + v_{0z} \hat{z} $ , teniendo en cuenta que no hay componentes de las fuerzas en esa dirección, la velocidad de la partícula en esa dirección será uniforme, de manera que ahora el centro de la trayectoria seguirá una recta contenida en el plano $XY$, “convirtiendo” la cicloide en una hélice (Figura B4).

  

Con saco y corbata

Consideremos el caso en el que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí. Por ejemplo, como venimos usando, con direcciones dadas por

$$ \begin{cases} \bar{B}&= B \hat{x} \\ \bar{E}&= E \hat{z}. \end{cases} $$ Las fuerzas que producen sobre la partícula cargada serán $$ \begin{cases} \bar{F}_B&= q \overline{v} \times \bar{B} \\ \bar{F}_E&= q \bar{E}, \end{cases} $$

que teniendo en cuenta la dirección de los campos y que $\overline{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$ resulta en

$$ \begin{cases} \bar{F}_B&= q B (v_z \hat{y} - v_y \hat{z}) \\ \bar{F}_E&= q E \hat{z}. \end{cases} $$

De esta forma, la fuerza resultante $\bar{F} = \bar{F}_B + \bar{F}_E$ será $$ \bar{F} = q B v_z \hat{y} + q(E-B v_y)\hat{z} $$ y, por lo tanto, las ecuaciones de movimiento se pueden expresar como

$$ \begin{cases} m\frac{dv_x}{dt}&= 0 \\ m\frac{dv_y}{dt}&= q B v_z \\ m\frac{dv_z}{dt}&= q(E-B v_y). \end{cases} $$

La primera de ellas nos lleva a una solución sencilla

$$ x(t) = x_0 + v_{0x} t, ~~~~~~~~ (B1) $$ y las dos siguientes pueden reexpresarse como

$$ \begin{cases} \frac{dv_y}{dt}&= \omega v_z \\ \frac{dv_z}{dt}&= \frac{qE}{m}-\omega v_y. \end{cases} ~~~~~~~~ (B2) $$

donde estamos definiendo la constante $\omega = \frac{qB}{m}$. Este sistema de ecuaciones acoplado puede resolverse de diferentes formas. En esta ocasión intentaré hacerlo de una forma que evidencia la estructura de la trayectoria, pero que no es la más cómoda para vincular con las condiciones iniciales. Para ello, derivaremos la segunda ecuación, $$ \frac{d^2 v_z}{dt^2}= -\omega \frac{dv_y}{dt} $$ y reemplazaremos en el segundo miembro la primera $$ \frac{d^2 v_z}{dt^2}= -\omega^2 v_z $$ que teniendo en cuenta que $v_z=\frac{dz}{dt}$ puede reexpresarse $$ \begin{split} \frac{d^2 v_z}{dt^2}+ \omega^2 v_z &= 0 \\ \frac{d^3 z}{dt^3}+ \omega^2 \frac{dz}{dt} &= 0 \\ \frac{d}{dt} \left(\frac{d^2 z}{dt^2}+ \omega^2 z \right) &= 0 \end{split} $$ es decir, debe existir una constante $C$ tal que $$ \frac{d^2 z}{dt^2}+ \omega^2 z =C. $$ Esta es la ecuación de una oscilación armónica de frecuencia $\omega$, con una posición de equilibrio no necesariamente nula, cuya solución genérica es $$ z(t) = z_c +z_M \sin (\omega t+ \varphi). ~~~~~~~~~~ (B3) $$

Para obtener la dependencia de la coordenada $y$, podemos derivar dos veces esta última ecuación $$ \frac{dv_z}{dt} = \frac{d^2z}{dt^2} = -z_M \omega^2 \sin (\omega t+ \varphi) $$ y reemplazar en la segunda de las relaciones (B2) $$ \begin{split} -z_M \omega^2 \sin (\omega t+ \varphi) &= \frac{qE}{m}-\omega v_y \\ v_y &= \frac{qE}{m \omega}+z_M \omega \sin (\omega t+ \varphi) \\ v_y &= \frac{E}{B}+z_M \omega \sin (\omega t+ \varphi). \end{split} $$ Finalmente, podemos definir $v_d=E/B$ (denominada velocidad de deriva) y luego integrar la ecuación para obtener

$$ y(t) = y_0 + v_d t + z_M \cos (\varphi) - z_M \cos (\omega t+ \varphi) $$ que tiene una estructura de la forma $$ y(t) = y_c + v_d t - z_M \cos (\omega t+ \varphi), ~~~~~ (B4) $$

con $y_c = y_0+ z_M \cos (\varphi)$.

Hagamos un último esfuerzo y juntemos las ecuaciones paramétricas encontradas (B1,B3 y B4):

$$ \begin{cases} x(t) &= x_0 + v_{0x} t \\ y(t) &= y_c + v_d t - z_M \cos (\omega t+ \varphi) \\ z(t) &= z_c +z_M \sin (\omega t+ \varphi). \end{cases} $$

Es posible ver que las coordenadas $y$ y $z$ describen una cicloide que se desplaza con velocidad de deriva $v_d = E/B$ en la dirección $\hat{y}$. Al agregar la coordenada $x$ con velocidad constante $v_{0x}$, la trayectoria resultante es una hélice cuyo eje es paralelo al plano $XY$.

Si todavía no lo hiciste y valoras el trabajo, siempre estas a tiempo de hacer tu aporte libre y voluntario. ¡Gracias!