N°07-2025

Enunciado

Una pava o tetera eléctrica calienta agua usando el efecto Joule en una resistencia de $R = 32 ~ \Omega$ enchufada a una fuente de voltaje alterno sinusoidal con una amplitud o valor pico de $311~ V$.

a) ¿Cuánto tiempo tarda la pava en llevar a ebullición un litro de agua inicialmente a $T = 10 ~ ^\circ C$?

b) Se coloca el litro de agua recién hervida en un termo, ¿qué masa de hielo a temperatura $T = -18 , ^\circ C$ se debe agregar al termo, de capacidad calorífica despreciable, para que la masa final de líquido esté a $T = 80 , ^\circ C$?

Datos: en el rango de temperaturas relevante al problema el calor específico del agua líquida a presión atmosférica es $C = 4,2 ~ \text{J}/(\text{g} ^\circ C)$, y el del hielo $C = 2,1 ~ \text{J}/(\text{g} ^\circ C)$. El calor latente de fusión del hielo es $334 ~ \text{J}/ \text{g}$.

Resolución

a)

La energía necesaria para aumentar la temperatura de un litro de agua desde los $10 ~ ^\circ C$ hasta los $100 ~ ^\circ C$ (ebullición), estará dada por

$$ Q = m C \Delta T $$

donde¹

$$ \begin{cases} m &= 997 ~ \text{g} \\ \Delta T &= 100 ~ ^\circ C - 10 ~ ^\circ C = 90 ~ ^\circ C \end{cases} $$

entonces

$$ Q \approx 377 ~ \text{kJ}. ~~~~~~ (1) $$

Por otro lado, el ritmo de entrega de esta cantidad de energía, estará dada por la potencia disipada en la resistencia del circuito. Como es sabido, en un circuito puramente resistivo, la potencia promedio está dada por

$$ \langle P \rangle= V_{ef} I_{ef} $$

donde el potencial y la corriente eficaces están dados por los valores $V_{ef} = V_0/\sqrt{2}$ y $I_{ef} = V_{ef}/R$. Así, la energía disipada en la resistencia en un tiempo $\tau$ es

$$ Q= \langle P \rangle \tau = \frac{V_0^2}{2R} \tau, $$

es decir,

$$ \boxed{\tau = \frac{2RQ}{V_0^2} \approx 250 ~ \text{seg} = 4 ~ \text{min} + 10 ~ \text{seg}}. $$

b)

En todo el proceso, hasta llegar al equilibrio, la masa de hielo $m_{H}$ absorberá una cantidad de energía en aumentar su temperatura hasta $0 ^{\circ} \text{C}$, una parte en derretirse y, finalmente, otra cantidad para llegar a los $80 ^{\circ} \text{C}$. Esta energía es entregada por el agua que disminuye su temperatura para llegar al equilibrio térmico. Es decir,

$$ m_{H} C_{H} \left( 0 ^{\circ} \text{C} - (- 18 ^{\circ} \text{C}) \right) + m_{H} L + m_{H} C (80 ^{\circ} \text{C} - 0 ^{\circ} \text{C}) + m C (80 ^{\circ} \text{C} - 100 ^{\circ} \text{C}) = 0 $$

donde $C_H = 2,1 ~ \text{J}/(\text{g} ^\circ C)$ es el calor específico del hielo y $L=334~ \text{J}/ \text{g}$ su calor latente de fusión. Despejando la masa de hielo de este balance de energía obtenemos que

$$ \boxed{m_H= \frac{m ~ C ~(20 ^{\circ} \text{C})}{C_H ~ (18 ^{\circ}\text{C})+L+C ~ (80 ^{\circ}\text{C})} \approx 118 ~ \text{g}}. $$

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