N°06-2025

Enunciado

Una computadora genera matrices $ A_\epsilon \in \mathbb{R}^{3 \times 3} $ de ceros y unos,

$$ A_\epsilon = \begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} & \epsilon_{13} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} & \epsilon_{23} \\ \epsilon_{31} & \epsilon_{32} & \epsilon_{33} \end{pmatrix}, $$

de forma tal que $\epsilon_{ij} = 0$ (ó, equivalentemente, $\epsilon_{ij} = 1$) con probabilidad $\frac{1}{2}$. Cabe aclarar que el valor que toma cada $\epsilon_{ij}$ es independiente del valor que toma cualquiera de los otros elementos de la matriz.

a) Hallar la probabilidad de que $A_\epsilon$ sea diagonal.

b) Hallar la probabilidad de que $tr(A_\epsilon) > 0$ (aquí $tr(A_\epsilon)$ denota la traza de la matriz $A_\epsilon$, esto es, la suma de los elementos de la diagonal).

c) ¿Cuál es la probabilidad de que $A_\epsilon$ sea diagonal si se sabe que $tr(A_\epsilon) > 0$?

Resolución

a)

Para que la matriz sea diagonal, se debe cumplir que $\epsilon_{ij}=0$ para todo $i\neq j$. Es decir, los seis elementos fuera de la diagonal deben ser nulos. La probabilidad de que uno de ellos sea nulo es $\frac{1}{2}$, entonces la probabilidad de que los seis sean simultáneamente nulos será

$$ \boxed{P (A_\epsilon \text{ es diagonal}) = \left( \frac{1}{2}\right)^{6}}. $$

b)

En términos del concepto de traza, hay dos posibilidades para este tipo de matrices, o la traza es nula o es positiva. Por ello, podemos aprovechar que

$$ P(tr( A_\epsilon)>0) = 1 - P(tr( A_\epsilon)=0). $$

Y como la probabilidad de que la traza sea nula equivale a la probabilidad de que los tres elementos de la diagonal sean nulos:

$$ P \left(tr( A_\epsilon)=0 \right) = \left( \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} $$

resulta que

$$ \boxed{P\left(tr( A_\epsilon)>0 \right) = \frac{7}{8}}. $$

c)

Como los valores de los elementos de la matriz son independientes entre sí, el conjunto de elementos fuera de la diagonal (que determinan si la matriz es diagonal) es independiente del conjunto de elementos de la diagonal (que determinan la traza). Por lo tanto, los eventos “la matriz es diagonal” y “la traza es positiva” son independientes. Por ello,

$$ \boxed{P \left(A_\epsilon \text{ es diagonal} ~| ~ tr( A_\epsilon)>0\right) = P (A_\epsilon \text{ es diagonal}) = \left( \frac{1}{2}\right)^{6}}. $$