N°02-2025

Enunciado

Considerar las funciones $S,C: \left[ 0,1\right] \to \mathbb{R}$ definidas por

$$ S(t) = \cases{ 4t ~~~~~~~~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ 2-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,3/4\right), \\ 4t-4 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right], } $$

y

$$ C(t) = \cases{ 1-4t ~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/2\right), \\ 4t-3 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,1\right]. } $$

a) Graficar $S$ y $C$. Mostrar que $|S(t)|+|C(t)|=1$ para todo $t \in \left[0,1\right]$.
b) Sea $T: \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \to \mathbb{R}^2$ dada por $T(r,t)=\left( rC(t), rS(t) \right)$. Dibujar la imagen de $T$, o sea,

$$ \text{Im}(T)= \lbrace \left( rC(t), rS(t) \right) : 0 \leq r \leq 1; 0 \leq t \leq 1\rbrace. $$

c) Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y) = e^{|x|+|y|}|x||y|$. Hallar el mínimo y el máximo absolutos de $f$ restringida a $\text{Im}(T)$. Hallar todos los puntos en los cuales se alcanzan dichos extremos.
d) Considerar $\widetilde{S},\widetilde{C}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las extensiones $1$-periódicas de $S$ y $C$, respectivamente, en todo $\mathbb{R}$. Es decir,

$$ \widetilde{S}(t) = S(t-\lfloor t \rfloor) ~ ~ \text{y} ~ ~ \widetilde{C}(t) = C(t-\lfloor t \rfloor), $$

donde $\lfloor t \rfloor$ es la parte entera de $t$ (el mayor número entero menor o igual a $t$).

I) Graficar $\widetilde{S}(t)$ y $\widetilde{C}(t)$, para $t \in \left[-1,2\right]$.
II) Probar que la serie

$$ \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n} \widetilde{S}(nt)+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \widetilde{C}(t) \right) $$

es convergente para todo $t \in \mathbb{R}$.

Resolución

a)

En las Figuras A y B se encuentran representadas las funciones $S(t)$ y $C(t)$, respectivamente.

Ahora, determinemos los valores absolutos de cada función. Ayudados por las gráficas podemos identificar son funciones divididas en las mismas cuatro partes. Es decir,

$$ |S(t)| = \cases{ 4t ~~~~~~~~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ 2-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,1/2\right), \\ 4t-2 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,3/4\right), \\ 4-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right], } $$

y

$$ |C(t)| = \cases{ 1-4t ~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ 4t-1 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,1/2\right), \\ 3-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,3/4\right), \\ 4t-3 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right]. } $$

Al explicitar las funciones de esta forma, es fácil ver que $|S(t)|+|C(t)|=1$. Podemos acompañar este desarrollo con la superposición de las gráficas de dichas funciones (Figura C) donde se observa un entrecruzamiento entre ellas que da lugar a que su suma sea constante e igual a $1$.

b)

Podemos comenzar representando $T(r=1,t) =\left( C(t),S(t) \right)$, que corresponde al mayor valor posible de $r$. Así, las imagenes correspondientes al resto de los valores (menores a 1) de $r$ serán figuras de igual forma pero de menor tamaño (hasta la figura de tamaño nulo en el origen).

Aprovecharemos lo demostrado en el inciso anterior. Incluso en el caso en que, durante el examen no lo hayamos demostrado, podríamos usarlo. Lo digo para tirar abajo la idea de que los problemas (y el examen) deben encarase en el orden establecido.

Regresando al hecho de que, para todo $t \in \left[0,1\right]$ se cumple que $|S(t)|+|C(t)|=1$. Podemos decir que la imagen de $T(r=1,t) =\left( C(t),S(t) \right)$ corresponde a la ecuación $|S|+|C|=1$, cuya gráfica es el borde del rombo representado en la (Figura D). La imagen de $T(r,t) =\left( rC(t),rS(t) \right)$ correspende, entonces, a todo el rombo.

c)

Dada la falta de diferenciabilidad en los segmentos caracterizados por las ecuaciones $x=0$ y $y=0$ y la evidente simetría de la función en los cuatro cuadrantes, podemos concentrarnos en estudiar la existencia de puntos críticos para $x,y>0$ (resultado que sería fácilmente extrapolable a los otros cuadrántes).

Al determinar el gradiente de la función

$$ f(x>0,y>0) = e^{x+y}xy $$

verificaremos rápidamente que

$$ \nabla f(x>0,y>0) = e^{x+y}\left( [x +1]y, [y +1]x \right) $$

con lo que es fácil ver que no existen puntos que lo anulen. Es decir, no existen tales puntos críticos en el pŕimer cuadránte ni en ninguno de los restantes. Así, sólo queda estudiar los valores de la función en la parte del dominio donde no es diferenciable. Es decir, en los segmentos antes mencionados ($x=0$ ó $y=0$) y en el borde de $Im(T)$, donde ya sabemos que $|x|+|y|=1$:

$$ \cases{ f(0,y)=f(x,0)=0 \\ \left. f(x,y) \right|_{\partial Im(T)} = e|x|(1-|x|) } $$

También es sencillo ver que en $\partial Im(T)$ cuando $|x|=|y|=1/2$ la función tiene un valor máximo $f(\pm1/2,\pm1/2)=e/4$, entonces:

$$ 0 \leq \left.f(x,y) \right|_{Im(T)} \leq e/4 $$

es decir, $0$ es el valor mínimo absoluto que adquiere la función, en los puntos del dominio tales que $x=0$ ó $y=0$, y $e/4$ es el valor máximo absoluto, que adquiere en los cuatro puntos definidos como $(\pm1/2,\pm1/2)$.

d)

I)

Para graficar $\widetilde{S}(t)$ y $\widetilde{C}(t)$ en $\left[-1,2\right]$, debemos considerar los esquemas de las Figuras A y B y replicar lo hecho en el intervalo $\left[0,1\right]$ en los intervalos $\left[-1,0\right]$ y $\left[1,2\right]$. Tal como está representado en las Figuras E y F.

II)

Recordemos que si una serie converge absolutamente, entonces es convergente. Veamos que es así en este caso. Por desigualdad trangular podemos hacer el siguiente desarrollo:

$$ \begin{split} \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{1}{2^n} \widetilde{S}(nt)+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \widetilde{C}(t) \right| &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left|\frac{1}{2^n} \widetilde{S}(nt)\right|+ \left|\frac{e^n-1}{e^{2n}} \widetilde{C}(t) \right| \right)\\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n} \left|\widetilde{S}(nt)\right|+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \left|\widetilde{C}(t) \right| \right)\\ \end{split} $$

Como $\left|\widetilde{S}(t) \right|\leq 1$ y $\left|\widetilde{C}(t) \right|\leq 1$

$$ \begin{split} \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{1}{2^n} \widetilde{S}(nt)+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \widetilde{C}(t) \right| &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n}+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \right)\\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{2^n}+ \frac{e^n}{e^{2n}} \right)\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{2^n}+ \frac{1}{e^{n}} \right). \end{split} $$

Las dos últimas series son ambas de tipo geométrico que, como sabemos, son convergentes. Así, estamos demostrando que la serie absoluta está acotada por una serie de términos positivos que es convergente y, por lo tanto, también converge. Es decir, la serie inicial converge absolutamente, como queríamos demostrar.

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