N°02-2025

Enunciado

Considerar las funciones $S,C: \left[ 0,1\right] \to \mathbb{R}$ definidas por

$$ S(t) = \cases{ 4t ~~~~~~~~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ 2-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,3/4\right), \\ 4t-4 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right], } $$

y

$$ C(t) = \cases{ 1-4t ~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/2\right), \\ 4t-3 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,1\right]. } $$

a) Graficar $S$ y $C$. Mostrar que $|S(t)|+|C(t)|=1$ para todo $t \in \left[0,1\right]$.
b) Sea $T: \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \to \mathbb{R}^2$ dada por $T(r,t)=\left( rC(t), rS(t) \right)$. Dibujar la imagen de $T$, o sea,

$$ \text{Im}(T)= \lbrace \left( rC(t), rS(t) \right) : 0 \leq r \leq 1; 0 \leq t \leq 1\rbrace. $$

c) Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y) = e^{|x|+|y|}|x||y|$. Hallar el mínimo y el máximo absolutos de $f$ restringida a $\text{Im}(T)$. Hallar todos los puntos en los cuales se alcanzan dichos extremos.
d) Considerar $\widetilde{S},\widetilde{C}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las extensiones $1$-periódicas de $S$ y $C$, respectivamente, en todo $\mathbb{R}$. Es decir,

$$ \widetilde{S}(t) = S(t-\lfloor t \rfloor) ~ ~ \text{y} ~ ~ \widetilde{C}(t) = C(t-\lfloor t \rfloor), $$

donde $\lfloor t \rfloor$ es la parte entera de $t$ (el mayor número entero menor o igual a $t$).

I) Graficar $\widetilde{S}(t)$ y $\widetilde{C}(t)$, para $t \in \left[-1,2\right]$.
II) Probar que la serie

$$ \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n} \widetilde{S}(nt)+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \widetilde{C}(t) \right) $$

es convergente para todo $t \in \mathbb{R}$.

Resolución

a)

En las Figuras A y B se encuentran representadas las funciones $S(t)$ y $C(t)$, respectivamente.

Ahora, determinemos los valores absolutos de cada función. Ayudados por las gráficas podemos identificar son funciones divididas en las mismas cuatro partes. Es decir,

$$ |S(t)| = \cases{ 4t ~~~~~~~~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ 2-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,1/2\right), \\ 4t-2 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,3/4\right), \\ 4-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right], } $$

y

$$ |C(t)| = \cases{ 1-4t ~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ 4t-1 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,1/2\right), \\ 3-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,3/4\right), \\ 4t-3 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right]. } $$

Al explicitar las funciones de esta forma, es fácil ver que $|S(t)|+|C(t)|=1$. Podemos acompañar este desarrollo con la superposición de las gráficas de dichas funciones (Figura C) donde se observa un entrecruzamiento entre ellas que da lugar a que su suma sea constante e igual a $1$.

b)

Podemos comenzar representando $T(r=1,t) =\left( C(t),S(t) \right)$, que corresponde al mayor valor posible de $r$. Así, las imagenes correspondientes al resto de los valores (menores a 1) de $r$ serán figuras de igual forma pero de menor tamaño (hasta la figura de tamaño nulo en el origen).

Para seguir un proceso constructivo paulatino, podemos desglosar el dominio de las funciones $S$ y $C$ en las mismas cuatro regiones:

$$ S(t) = \cases{ 4t ~~~~~~~~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ 2-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,1/2\right), \\ 2-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,3/4\right), \\ 4t-4 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right], } $$

y

$$ C(t) = \cases{ 1-4t ~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ 1-4t ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,1/2\right), \\ 4t-3 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,3/4\right), \\ 4t-3 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right]. } $$

Así, aprovechando la presencia del producto $4t$ en cada rama de ambas funciones, podemos encontrar cómo se vinculan entre sí:

$$ \cases{ S(t)+C(t)=1 ~~~~~~~ \text{si} ~~ t \in \left[0,1/4\right), \\ S(t)-C(t)=1 ~~~~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/4,1/2\right), \\ -S(t)-C(t)=1 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[1/2,3/4\right), \\ -S(t)+C(t)=1 ~~~~ \text{si} ~ ~ t \in \left[3/4,1\right]. } $$

Podemos independizarnos del parámetro $t$. Para ello, debemos darnos cuenta que en cada una de las ramas se encuentran presentes los valores absolutos de $S$ y $C$. En la primera rama ambas funciones son positivas, en la segunda sólo $C$ es negativa, en la tercera ambas funciones son negativas y en la cuarta sólo $S$ es negativa. Así, todas las ramas pueden sintetizarse en el hecho de que $|S(t)|+|C(t)|=1$ para todo $t \in \left[0,1\right]$. Es decir, la imagen de $T(r=1,t) =\left( C(t),S(t) \right)$ corresponde a la ecuación $|S|+|C|=1$, cuya gráfica es el borde rombo representado en la (Figura D). La imagen de $T(r,t) =\left( rC(t),rS(t) \right)$ correspende, entonces, a todo el rombo.

c)

Dada la evidente simetria de la función en los cuatro cuadrantes y la falta de diferenciabilidad en los segmentos caracterizados por las ecuaciones $x=0$ y $y=0$, podriamos estudiar la existencia de puntos críticos para $x,y>0$. Al determinar el gradiente de la función verificaremos rápidamente que no existen tales puntos críticos. Así, sólo queda estudiar los valores de la función en la parte del dominio donde no es diferenciable. Es decir, en los segmentos antes mencionados y en el borde de $Im(T)$, donde ya sabemos que $|x|+|y|=1$:

$$ \cases{ f(0,y)=f(x,0)=0 \\ \left. f(x,y) \right|_{\partial Im(T)} = e|x|(1-|x|) } $$

También es sencillo ver que en $\partial Im(T)$ cuando $|x|=|y|=1/2$ la función tiene un valor máximo $f(\pm1/2,\pm1/2)=e/4$, entonces:

$$ 0 \leq \left.f(x,y) \right|_{Im(T)} \leq e/4 $$

es decir, $0$ y $e/4$ son los extremos absolutos de la función $f$ en la región $Im(T)$.

d)

I)

Para graficar $\widetilde{S}(t)$ y $\widetilde{C}(t)$ en $\left[-1,2\right]$, debemos considerar los esquemas de las Figuras A y B y replicar lo hecho en el intervalo $\left[0,1\right]$ en los intervalos $\left[-1,0\right]$ y $\left[1,2\right]$. Tal como está representado en las Figuras E y F.

II)

Recordemos que si una serie converge absolutamente, entonces es convergente. Veamos que es así en este caso. Por desigualdad trangular podemos hacer el siguiente desarrollo:

$$ \begin{split} \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{1}{2^n} \widetilde{S}(nt)+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \widetilde{C}(t) \right| &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left|\frac{1}{2^n} \widetilde{S}(nt)\right|+ \left|\frac{e^n-1}{e^{2n}} \widetilde{C}(t) \right| \right)\\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n} \left|\widetilde{S}(nt)\right|+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \left|\widetilde{C}(t) \right| \right)\\ \end{split} $$

Como $\left|\widetilde{S}(t) \right|\leq 1$ y $\left|\widetilde{C}(t) \right|\leq 1$

$$ \begin{split} \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{1}{2^n} \widetilde{S}(nt)+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \widetilde{C}(t) \right| &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n}+ \frac{e^n-1}{e^{2n}} \right)\\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{2^n}+ \frac{e^n}{e^{2n}} \right)\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{2^n}+ \frac{1}{e^{n}} \right). \end{split} $$

Las dos últimas series son ambas de tipo geométrico, que como sabemos son convergentes. Así, estamos demostrando que la serie absoluta está acotada por una serie convergente, y por lo tanto converge. Es decir, la serie inical converge absolutamente, como queríamos demostrar.