N°01-2025

Enunciado

Un reloj de agujas flota ingrávido y estático visto por el astronauta Beto, quien permanece quieto en la estación espacial, la cual orbita la Tierra. El reloj consiste en un disco plano homogéneo de radio $R = 6 ~ \text{cm}$ y masa $M = 240 ~ \text{g}$, más sus dos agujas que son varillas unidimensionales idénticas de largo $l = 6 ~ \text{cm}$ y masa total $m = 12 ~ \text{g}$ cada una. La masa $m$ de cada aguja está totalmente concentrada en sus dos extremos, de forma tal que el centro de masa de cada aguja pasa por el eje de rotación de las mismas en el centro del reloj. Las agujas están inicialmente detenidas marcando las 12:00.

a) A $t = 0$ el reloj empieza a funcionar y sus agujas empiezan a rotar continuamente con sus respectivas velocidades angulares. Describir el movimiento del disco y de las agujas para $t> 0$ cuantitativamente, según lo ve Beto.
b) A $t=t_1$ se agota la pila que hacía funcionar el reloj, las agujas se detienen y quedan quietas respecto del disco. Describir el movimiento del disco y de las dos agujas para $t> t_1$ cuantitativamente, visto por Beto.

Resolución

El anillo del capitan Beto - Invisible - Spinetta

a)

Como el reloj se encuentra libre de fuerzas externas, se debe conservar su cantidad de movimiento lineal y su momento angular. Así, mientras el centro de masas del reloj permanecerá en reposo, el movimiento de las agujas deberá ir acompañado de un movimiento del disco para garantizar la conservación del momento angular. Si $\omega_m$ es la velocidad angular de la aguja que marca los minutos (minutero), $\omega_h$ es la velocidad angular de la aguja que marca las horas (horario) y $\omega_d$ es la velocidad angular del disco, el momento angular del sistema estará dado por

$$ L = i \omega_m + i \omega_h + I \omega_d =0, $$

donde $i$ es el momento de inercia de cada aguja, $I$ el momento de inercia del disco y consideramos positivo el movimiento en el sentido contrario a las agujas del reloj. De esta forma, la velocidad angular del disco es antihoraria e igual a

$$ \omega_d = - \frac{i}{I} (\omega_m+\omega_h). ~~~~~~ (1) $$

Esta relación es consistente con la idea de que el disco deberá girar en sentido contrario al de las agujas. También vemos que vamos a necesitar determinar los momentos de inercia y tratar de aprovechar el hecho de que sabemos las velocidades a las que se calibraron las agujas del reloj. Veamos cada cuestión por separado.

Distribución de masas en las agujas

El centro de masas de las agujas está en el eje de rotación $O$ (Figura A), de manera que si colocamos allí nuestro origen de coordenadas y denominamos $m_1$ y $m_2$ a las masas ubicadas en los extremos, a las distancias $d$ y $l-d$, respectivamente, se debe cumplir que

$$ r_{\text{CM}} = \frac{m_2 (l-d)-m_1 d}{m_1+m_2} = 0, $$

y por lo tanto

$$ m_2 (l-d) = m_1 d. ~~~~~~ (2) $$

Como $m=m_1+m_2$

$$ \begin{split} m_2 (l-d) &= (m-m_2) d \\ m_2 l-m_2d &= md-m_2 d \\ m_2 l &= md, \end{split} $$

que despejando y luego remplazando en la relación (2) nos permite obtener la distribución de masas

$$ \begin{cases} m_1 &= \frac{(l-d)}{l}m \\ m_2 &= \frac{d}{l}m \end{cases}. ~~~~~~ (3) $$

Momentos de inercia

El momento de inercia $i$ de una aguja estará dado por

$$ \begin{split} i &= m_1 d^2 + m_2 (l-d)^2 ~~~~~~ \text{(aprovechamos la relación (3))} \\ &= \frac{(l-d)}{l}m d^2 + \frac{d}{l}m (l-d)^2 ~~~~~~ \text{(hay muchos factores en común)} \\ &= m \frac{(l-d)d}{l} \left[d + (l-d) \right] \\ &= m \frac{(l-d)d}{l} l, \end{split} $$

es decir,

$$ i= m (l-d)d. $$

Por otro lado, el momento de inercia del disco, por ser homogéneo, es $I=\frac{1}{2} M R^2$. Así, el cociente entre los momentos es

$$ \frac{i}{I} = \frac{2m (l-d)d}{M R^2} = \frac{1}{72}. ~~~~~~ (4) $$

Calibración del reloj

Para obtener más información sobre las velocidades no debemos descuidar el hecho de que el reloj está calibrado en un sistema de referencia en el que el disco está en reposo. En él, las agujas dan una vuelta cada hora (minutero) y cada 24 horas (horario). Es decir, en ese sistema de referencia, las velocidades angulares, indicadas en mayúscula para diferenciarlas de las medidas por Beto, serán:

$$ \begin{cases} \Omega_m &= 24 \frac{2 \pi}{\text{día}} \\ \Omega_h &= 2 \frac{2 \pi}{ ~ \text{día}} \end{cases}, ~~~~~~ (5) $$

donde $\frac{2 \pi}{\text{día}}$ indica una vuelta por cáda día. Así, el minutero da $24$ vueltas en un día y el horario $2$ vueltas por día.

En el sistema de referencia de Beto, la velocidades medidas estarán dadas por

$$ \begin{cases} \omega_m &= \Omega_m + \omega_d \\ \omega_h &= \Omega_h + \omega_d. \end{cases} ~~~~~~ (6) $$

Si remplazamos la relaciones (4) y (6) en (1), y desarrollamos:

$$ \begin{split} \omega_d &= -\frac{1}{72} (\Omega_m+\Omega_h+ 2 \omega_d) \\ 72\omega_d &= -(\Omega_m+\Omega_h)- 2 \omega_d \\ 74\omega_d &= -(\Omega_m+\Omega_h), \end{split} $$

es decir,

$$ \omega_d = -\frac{\Omega_m+\Omega_h}{74} $$

resultado que al regresar a (6) nos permite obtener las velocidades de las agujas medidas por Beto

$$ \begin{cases} \omega_m &= \frac{73\Omega_m-\Omega_h}{74} \\ \omega_h &= \frac{73\Omega_h-\Omega_m}{74}. \end{cases} $$

Remplazando (5) en las últimas tres relaciones:

$$ \begin{cases} \omega_m &= \frac{73 \cdot 24-2}{74} \frac{2 \pi}{\text{día}} \approx 23.664 ~ \frac{2 \pi}{\text{día}} \\ \omega_h &= \frac{73\cdot 2-24}{74} \frac{2 \pi}{\text{día}} \approx 1.65 ~ \frac{2 \pi}{\text{día}}\\ \omega_d &= -\frac{24+2}{74} \frac{2 \pi}{\text{día}} \approx -0.34 ~ \frac{2 \pi}{\text{día}} \end{cases} $$

b)

La relación (1) sigue siendo válida cuado se termina la batería, ya que el momento angular se sigue conservando. Entonces como las agujas se quedan quietas respecto del disco, deben tener la misma velocidad angular. Pero eso sólo es posible si todos los cuerpos se detienen.