N°15-2024

Enunciado

Se tiene una máquina realizando un ciclo de Carnot entre las temperaturas $T_1$ (fuente caliente) y $T_2$ (fuente fría). Para aumentar la eficiencia del ciclo, ¿conviene aumentar $T_1$ en una cantidad $\Delta T$ o disminuir $T_2$ en la misma cantidad? Justificar.

Resolución

La eficiencia en un ciclo de Carnot se puede expresar en término de las temperaturas de las fuentes como

$$ \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} $$

Veamos por separado el efecto de las dos variaciones por separado:

Aumento de $T_1$

Al aumentar $T_1$ en una cantidad $\Delta T_1$, podemos hacer el siguiente desarrollo:

$$ \begin{split} \Delta \eta_1 =& \eta’ - \eta \\ =& \left(1-\frac{T_2}{T’_1} \right) - \left(1-\frac{T_2}{T_1} \right) \\ =& \frac{T_2}{T_1} - \frac{T_2}{T’_1} \\ =& T_2 \frac{T’_1-T_1}{T_1T’_1} \\ =& T_2 \frac{\Delta T_1}{T_1T’_1} ~~~~~~~~~~ (1)\\ \end{split} $$

donde donde hemos definido $\Delta T_1 = T’_1-T_1$.

Disminución de $T_2$

Cuando la temperatura de la fuente caliente disminuye en $\Delta T_2$, la eficiencia sufre un cambio dado por

$$ \Delta \eta_2 = -\frac{\Delta T_2}{T_1}, ~~~~~~~~~~ (2) $$

donde se observa que cuando hay una disminución de $T_2$ ($\Delta T_2<0$) hay un aumento de $\eta$ ($\Delta \eta>0$).

Comparación

Para poder comparar las variaciones de eficiencia dadas por (1) y (2), podemos pedir que $\Delta T_2 = -\Delta T_1$ entonces

$$ \begin{split} \Delta \eta_2 =& \frac{\Delta T_1}{T_1} \\ =& \frac{T’_1}{T_1}\frac{\Delta T_1}{T’_1} \\ =& \frac{T’_1}{T_1} \Delta \eta_1 \end{split} $$

donde se evidencia fácilmente, dado que $T’_1>T_1$, que $\boxed{\Delta \eta_2 > \Delta \eta_1}$, es decir, la disminución de la temperatura de la fuente fría aumenta más la eficiencia que el aumento de temperatura de la fuente caliente.

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