N°14-2024

Enunciado

Sea $f:(0, + \infty) \to \mathbb{R}$ una función tal que

$$ xf’(x) + f (x) + x = 0~~~~~\text{y}~~~~~ f(1) = 1.~~~~~\text{(1)} $$

a) Mostrar que si $g(x) = f (x)/x$, entonces $$ xg’(x) + 2g(x) + 1 = 0~~~~~\text{y}~~~~~ f(1) = 1. $$

b) Hallar la solución de (1).

Resolución

a)

Es trivial verificar que $g(1)=1$. Por otro lado, si tenemos en cuenta que $f(x)=xg(x)$, entonces $f’(x)=g(x)+xg’(x)$, que remplazando en (1) nos permite hacer el siguiente desarrollo $$ \begin{split} x \left[ g(x)+xg’(x)\right]+ x g(x)+x&=0 \\ x \left[ g(x)+xg’(x)+ g(x)+1 \right]&=0 \\ x \left[ x g’(x)+ 2 g(x)+1\right]&=0, \end{split} $$ lo cual es válido si y sólo si

$$ x=0 ~~~ \lor ~~~ x g’(x)+ 2 g(x)+1=0.~~~~~\text{(2)} $$

b)

Para integrar (1) podemos hacer uso de lo obtenido en (2). Si $x=0$, la relación (1) no dice que

$$ f(0)=0.~~~~~\text{(3)} $$

Para el segundo caso, en el que $ x g’(x)+ 2 g(x)+1=0$ podemos separar variables para integrar:

$$ \begin{split} \int_{g(1)}^{g(x)} \frac{dg}{2g+1}&= -\int_{1}^{x} \frac{dx}{x} \\ \frac{1}{2} \ln \left( \frac{2g(x)+1}{2g(1)+1} \right)&= -\ln x \\ \ln \left( \frac{2g(x)+1}{3} \right)&= -2\ln x \\ \ln \left( \frac{2g(x)+1}{3} \right)&= -\ln x^2 \\ \ln \left( \frac{2g(x)+1}{3} \right)+\ln x^2&= 0 \\ \ln \left( \frac{2g(x)+1}{3} x^2 \right) &= 0 \end{split} $$

lo cual nos lleva a que

$$ \begin{split} \frac{2g(x)+1}{3} x^2 &=1 \\ 2g(x)+1&=\frac{3}{x^2} \\ 2g(x)&=\frac{3}{x^2}-1 \\ g(x)&=\frac{3-x^2}{2x^2} \\ \end{split} $$

y por lo tanto, ya que $f(x)=xg(x)$, $$ f(x)=\frac{3-x^2}{2x} ~~~~ \text{con } x \neq 0.~~~~~\text{(4)} $$

Si juntamos (3) y (4):

$$ \boxed{ f(x)= \cases{ ~~~ 0 ~~~~~~~ \text{si } x = 0 \\ \frac{3-x^2}{2x}~~~~ \text{si } x \neq 0 } }. $$

Siempre es importante verificar que la solución cumple con la ecuación diferencial, si tenemos tiempo por supuesto. Yo ya lo hice, animate vos también. Y si tenes ganas, hace tu aporte libre y voluntario. ¡Gracias por llegar hasta aquí!