N°13-2024

Enunciado

Hallar, si existen, los puntos críticos de la función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y) = x^2 y + y^2 x − x$. Clasificarlos según sean máximos, mínimos o puntos de ensilladura.

Resolución

Comencemos determinando el gradiente de la función

$$ \nabla f = \left( 2xy+y^2, x^2+2xy \right) $$

En un punto crítico $\bar{x}_c= (x_c,y_c)$, se debe cumplir que $\nabla f (\bar{x}_c)= \bar{0}$, lo cual nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones

$$ \cases{ 2x_cy_c+y_c^2-1=&0 \\ x_c^2+2x_cy_c=&0. } $$

Si nos concentramos en la segunda ecuación, que puede reescribirse como $x_c(x_c+2y_c)=0$ se nos abren dos caminos:

• $x_c=0$ entonces $y_c^2=1$. Resultados que nos brindan dos puntos críticos: $\bar{x}_c^{\pm}= (0,\pm1)$.
• $x_c \neq 0$ entonces $x_c=-2y_c$ y por lo tanto $2x_cy_c+y_c^2-1=-4y_c^2+y_c^2-1 = -3y_c^2-1=0$, es decir, $y_c^2=-\frac{1}{3}$. Tal ecuación no tiene soluciones reales, este camino no nos lleva a ningún extremo.

Para caracterizar los extremos $\bar{x}_c^{\pm}= (0,\pm1)$ debemos analizar su matriz hessiana:

$$ H_{f} (\bar{x}_c^{\pm}) = \begin{pmatrix} 2 y_c & 2(x_c+y_c) \\ 2(x_c+y_c) & 2x_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pm 2 & \pm 2 \\ \pm 2 & 0 \end{pmatrix} $$

Como $\det \left( H_{f} (\bar{x}_c^{\pm})\right) = -4$ ambos puntos corresponden a puntos de inflexión (o ensilladura).

En el siguiente video¹ te muestro una gráfica de la función.