N°12-2024

Enunciado

Determinar si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+3}{5n+1} \frac{\sin (n^2)+\cos (e^n)}{2^n}$ es convergente. Justificar.

Resolución

Usaremos el hecho de que toda serie absolutamente convergente es convergente. También aprovecharemos el hecho de que cuando una serie de términos positivos es acotada por otra serie convergente de términos positivos, entonces también converge. Así, usando la desigualdad triangular tenemos que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{2n+3}{5n+1} \frac{\sin (n^2)+\cos (e^n)}{2^n} \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+3}{5n+1} \frac{\left|\sin (n^2)\right|+\left|\cos (e^n)\right|}{2^n}, $$

como $\left|\sin (n^2)\right|\leq 1 $ y $\left|\cos (e^n)\right|\leq 1 $, entonces:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{2n+3}{5n+1} \frac{\sin (n^2)+\cos (e^n)}{2^n} \right| \leq\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+3}{5n+1} \frac{2}{2^n}. $$

Por otro lado, como $5n+1= 2n +3n +1 \geq 2n +3 +1 > 2n +3$ entonces $\frac{2n+3}{5n+1} \leq 1$ y por lo tanto

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{2n+3}{5n+1} \frac{\sin (n^2)+\cos (e^n)}{2^n} \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}. $$

La serie de la derecha es una serie geométrica, la que convergente1, entonces la serie original converge absolutamente, tal como queríamos demostrar2.

  1. Si $|r|<1$ entonces $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$. De esta forma, si denominamos $m=n-1$, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}} = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{m} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} =2$. ↩︎

  2. Si llegaste hasta aquí, es un buen momento para que tu esfuerzo (al igual que el mío) converja en un aporte libre y voluntario. ¡Gracias! ↩︎