N°11-2024

Enunciado

Hallar todos los $w \in \mathbb{C}$ tales que $i(w^2 + 9) \in \lbrace z \in \mathbb{C} : \mathbb{Re}(z) = 0~~\text{y}~~ \mathbb{Im}(z) \geq 0 \rbrace$ (aquı́ $\mathbb{Re}(z)$ y $\mathbb{Im}(z)$ denotan las partes real e imaginaria de z).

Resolución

Podemos comenzar recordando que si $w=x+iy$ entonces $w^2=(x^2-y^2)+i2xy$. Luego podemos realizar los siguientes desarrollos $$ \begin{split} \mathbb{Re}\left( i(w^2 + 9) \right) &=\mathbb{Re}\left( iw^2 + 9i \right) \\ &=\mathbb{Re}\left( iw^2\right) \\ &=-\mathbb{Im}\left( w^2\right) \\ &=-2xy \\ \mathbb{Im}\left( i(w^2 + 9) \right) &=\mathbb{Im}\left( iw^2 + 9i \right) \\ &=\mathbb{Im}\left( iw^2\right)+9 \\ &=\mathbb{Re}\left( w^2\right)+9 \\ &=x^2-y^2+9. \end{split} $$

Al imponer que $\mathbb{Re}\left( i(w^2 + 9) \right)=0$ tenemos dos caminos posibles, $x=0$ o $y=0$. Veamos como impactan ambos en la condición de que $\mathbb{Im}\left( i(w^2 + 9) \right) \geq 0$

a) $x=0$

En este caso, la condición se reduce a que $y^2 \leq 9$, es decir, $|y|\leq 3$. Podemos decir que un que se trata del siguiente conjunto

$$ \color{#0099CC}{\mathcal{A} = \lbrace w \in \mathbb{C}: \mathbb{Re}(w)=0~\land~|\mathbb{Im} (w)| \leq 3 \rbrace} $$

b) $y=0$

Con total analogía, la condición se reduce a que $x^2 \geq -9$, condición que se cumple para cualquier $x$. Es decir, se trata de la recta real:

$$ \color{#ff9900}{\mathcal{B} = \lbrace w \in \mathbb{C}: \mathbb{Im} (w) =0 \rbrace} $$

Conjunto solución

La unión de los conjuntos obtenidos en a) y b) es el conjunto solución buscado $\mathcal{S} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ y puede representarse en el plano complejo como muestra la Figura A.

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