N°06-2024

Enunciado

Sea $A \in \mathbb{R}^{2×2}$ una matriz con autovalores $\lambda_1 = −1$ y $\lambda_2 = 3$ y autovectores

$$ v_1=R_{\frac{\pi}{4}}\left( \begin{split} &1 \\ &0 \end{split} \right) ~~~~~~ \text{y} ~~~~~~ v_2=R_{\frac{\pi}{2}}\left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right) $$

donde $R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2×2}$.

a) Hallar la matriz $A$.

b) Sean $C_{\mathcal{B}\mathcal{E}}\in \mathbb{R}^{2×2}$ la matriz de cambio de base de $\mathcal{B} = \lbrace v_1, v_2 \rbrace$ a $\mathcal{E} = \lbrace (1,0), (0,1) \rbrace$ y $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ dada por $T(x,y)= A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}}\left( \begin{split} &x \\ &y \end{split} \right)$. Graficar el conjunto

$$ P = \lbrace T(x,y): (x,y) \in [0,1] \times [0,1] \rbrace \subset \mathbb{R}^2, $$

donde $[0,1] \times [0,1] = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x,y \leq 1 \rbrace$.

Resolución

a)

Estructura de la matriz A

Me tomaré el atrevimiento de cambiar un poco la notación. Podemos decir que $A$ es una matriz asociada a una transformación lineal $\mathcal{T}$ en la base canónica $\mathcal{E}$ y sus autovectores son $v_1$ y $v_2$. Las coordenadas de los autovectores en dicha base están dadas por

$$ \left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{E}} =R_{\frac{\pi}{4}}\left( \begin{split} &1 \\ &0 \end{split} \right) ~~~~~~ \text{y} ~~~~~~ \left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{E}} =R_{\frac{\pi}{2}}\left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right). ~~~~~~~~ (0) $$

Así como $A = \left\lbrack \mathcal{T} \right\rbrack_{\mathcal{E}\mathcal{E}}$ es la matriz asociada a la transformación $\mathcal{T}$ en la base canónica $\mathcal{E}$, en la base de autovecotres $\mathcal{B}$ tendremos que

$$ \left\lbrack \mathcal{T} \right\rbrack_{\mathcal{B}\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}.~~~~~~~~ (1) $$

Tales matrices se relacionan a través de la matrices cambio de base $C_{\mathcal{B}\mathcal{E}}$ y $C_{\mathcal{E}\mathcal{B}}$ de la siguiente forma

$$ A = \left\lbrack \mathcal{T} \right\rbrack_{\mathcal{E}\mathcal{E}} = C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} ~ \left\lbrack \mathcal{T} \right\rbrack_{\mathcal{B}\mathcal{B}} ~ C_{\mathcal{E}\mathcal{B}}.~~~~~~~~ (2) $$

$C_{\mathcal{B}\mathcal{E}}$ es aquella matriz cuyas columnas son las coordenadas de los autovectores en la base canónica, es decir,

$$ C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} = \left( \left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{E}} ~| ~ \left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{E}} \right).~~~~~~~~ (3) $$ y la matriz $C_{\mathcal{E}\mathcal{B}}$ es su inversa, es decir,

$$ C_{\mathcal{E}\mathcal{B}} = C_{\mathcal{B}\mathcal{E}}^{-1}= \frac{\text{adj} (C_{\mathcal{B}\mathcal{E}})}{\det(C_{\mathcal{B}\mathcal{E}})}=\frac{\text{cof} (C_{\mathcal{B}\mathcal{E}})^T}{\det(C_{\mathcal{B}\mathcal{E}})}.~~~~~~~~ (4) $$

Coordenadas de los autovectores en la base canónica

Dado que $$ R_{\frac{\pi}{4}}= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} ~~~~~~ \text{y} ~~~~~~ R_{\frac{\pi}{2}}= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

volviendo a las relaciones (0) podemos obtener las coordenadas buscadas:

$$ \begin{split} \left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{E}} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \left( \begin{split} &1 \\ &0 \end{split} \right) \\ \left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{E}} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right) \end{split} $$

es decir

$$ \left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{E}} = \left( \begin{split} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\frac{1}{\sqrt{2}} \end{split} \right) ~~~~~~ \text{y} ~~~~~~ \left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{E}} = \left( \begin{split} -&1 \\ &0 \end{split} \right).~~~~~~~~ (0’) $$

Si remplazamos en la relación (3):

$$ C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\end{pmatrix}.~~~~~~~~ (3’) $$

Por otro lado, recordando (4), como $\det(C_{\mathcal{B}\mathcal{E}})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ y $\text{cof} (C_{\mathcal{B}\mathcal{E}})=\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$:

$$ C_{\mathcal{E}\mathcal{B}} =\frac{\text{cof} (C_{\mathcal{B}\mathcal{E}})^T}{\det(C_{\mathcal{B}\mathcal{E})}} = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} \\ -1 & 1\end{pmatrix}~~~~~~~~ (4’) $$

Remplazando (1), (3’) y (4’) en (2):

$$ \begin{split} A &= C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} ~ \left\lbrack \mathcal{T} \right\rbrack_{\mathcal{B}\mathcal{B}} ~ C_{\mathcal{E}\mathcal{B}} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} \\ -1 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -\sqrt{2} \\ -3 & 3\end{pmatrix} \end{split} $$

es decir

$$ \boxed{A=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 0 & -1\end{pmatrix}}. $$

b)

Interpretación del conjunto $[0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2$

Teniendo en cuenta la expresión $T(x,y)= A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}}\left( \begin{split} &x \\ &y \end{split} \right)$, es fácil interpretar que $ \left( \begin{split} &x \\ &y \end{split} \right)$ son las coordenadas (en forma de columna) de un vector en la base autovectores $\mathcal{B}$ y el producto $ C_{\mathcal{B}\mathcal{E}}\left( \begin{split} &x \\ &y \end{split} \right)$ nos brinda las coordenadas del mismo vector pero en la base canónica $\mathcal{E}$. Así, el producto cartesiano $[0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2$ está determinado por las coordenadas de los autovectores en su misma base. Es decir, dado que $\left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{B}}=\left( \begin{split} &1 \\ &0 \end{split} \right)$ y $\left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{B}}=\left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right)$ entonces el producto cartesiano se constituye en un cuadrado cuyos vértices (en la base $\mathcal{B}$) están dados por las coordenadas (ver Figura A):

$$ \bigg\lbrace \left( \begin{split} &0 \\ &0 \end{split} \right) ; \left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{B}}=\left( \begin{split} &1 \\ &0 \end{split} \right) ; \left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{B}}=\left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right); \left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{B}} + \left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{B}} =\left( \begin{split} &1\\ &1 \end{split} \right) \bigg\rbrace ~~~~~~ (5) $$

Determinación de $P$

En este contexto, podemos determinar el conjunto $P = \lbrace T(x,y): (x,y) \in [0,1] \times [0,1] \rbrace \subset \mathbb{R}^2$ aplicando la transformación $T(x,y)= A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}}\left( \begin{split} &x \\ &y \end{split} \right)$ a los vertices dados por la relación (5):

$$ \begin{split} T(0,0) &= A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} \left( \begin{split} &0 \\ &0 \end{split} \right)\\ T(1,0) &= A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} \left( \begin{split} &1 \\ &0 \end{split} \right) \\ &= A \left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{E}} \\ &= \lambda_1 \left\lbrack v_1 \right\rbrack_{\mathcal{E}} \\ T(0,1) &= A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} \left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right) \\ &= A \left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{E}} \\ &= \lambda_2 \left\lbrack v_2 \right\rbrack_{\mathcal{E}} \\ T(1,1) &= A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} \left( \left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right) +\left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right) \right) \\ &= A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} \left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right) +A \cdot C_{\mathcal{B}\mathcal{E}} \left( \begin{split} &0 \\ &1 \end{split} \right) \\ &= T(1,0)+T(0,1). \end{split} $$

Finalmente, teniendo en cuenta las relaciones (0’)

$$ \begin{split} T(0,0) &= \left( \begin{split} &0 \\ &0 \end{split} \right) \\ T(1,0) &= \left( \begin{split} &-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ &-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{split} \right) \\ T(0,1) &= \left( \begin{split} &-3 \\ &0 \end{split} \right) \\ T(1,1) &= -\left( \begin{split} &\frac{1}{\sqrt{2}}+3 \\ &\frac{1}{\sqrt{2}} \end{split} \right), \end{split} $$

que son coordenadas en la base canónica $\mathcal{E}$ de los vértices de $P$, que puede interpretarse como el paralelogramo auspiciado por el aporte libre y voluntario y mostrado en la Figura B. ¡Gracias!