N°13-2023

Enunciado

A partir de los datos brindados por el servicio meteorológico de Ciudad Gótica, se puede observar que:

  • Si estamos en un día soleado, las probabilidades de que el próximo día esté soleado, nublado o lluvioso son $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{10}$ y $\frac{1}{10}$, respectivamente.

  • Si estamos en un día nublado, las probabilidades de que el próximo día esté soleado, nublado o lluvioso son $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{10}$ y $\frac{3}{10}$, respectivamente.

  • Si estamos en un día lluvioso, las probabilidades de que el próximo día esté soleado, nublado o lluvioso son $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{10}$, respectivamente.

Digamos que hoy es el día $n = 0$ y que:

$$ \begin{split} x_n(S) &= \text{probabilidad de que el día n esté soleado;} \\ x_n(N) &= \text{probabilidad de que el día n esté nublado;} \\ x_n (L) &= \text{probabilidad de que el día n esté lluvioso.} \end{split} $$

y consideremos el vector estado de probabilidades $\mathrm{x}_n = \left( \begin{matrix} x_n(S) \\ x_n(N) \\ x_n(L)\end{matrix} \right)$.

Los vectores iniciales $\mathrm{x}_0 = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)$, $\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)$ y $\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)$ nos indican que hoy está soleado, nublado o lluvioso, respectivamente.

  1. Sabiendo que hoy está nublado, halle la probabilidad de que pasado mañana esté soleado.

  2. Halle la matriz de transición $\mathbb{P}$ que verifica $\mathrm{x}_{n+1}= \mathbb{P} \mathrm{x}_{n}$ para todo $n \in \mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace$. Notar que $\mathrm{x}_n= \mathbb{P}^n \mathrm{x}_0$, donde $\mathrm{x}_0$ es un vector inicial.

  3. Sabiendo que $\mathrm{x}_0 = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)$ y que $\mathbb{P}$ tiene autovalores $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{10}$ y $\lambda_3 = \frac{1-\sqrt{5}}{10}$
    a) Sabiendo que el límite $\lim_{n \to \infty} \mathrm{x}_n$ existe, muestre que este límite es autovector de $\mathbb{P}$. ¿Asociado a qué autovalor?
    b) ¿Depende el límite anterior del estado inicial $\mathrm{x}_0$?

Resolución

Por cuestiones de tiempo no he trabajo todavía en este problema. Si quisieras que dedique mi tiempo a seguir escribiendo resoluciones a problemas como este, ayudame con un aporte libre y voluntario. El tiempo que me lleva preparar y escribir cada resolución excede el que puedo usar en mis tiempos libres.