N°11-2023

Enunciado

Considere el modelo poblacional dado por $$ y’ (t) = r y(t) \left(1 − \frac{y(t)}{K} \right), $$

donde $y(t)$ es el tamaño de la población a tiempo $t> 0$ y $r,K> 0$ son constantes asociadas a la tasa de crecimiento de la población y a la capacidad de carga del ambiente, respectivamente.

1. Halle la solución de la ecuación, con dato inicial $y(0) = y_0 > 0$ (puede ser útil el cambio de variables $z(t) =\frac{1}{K} − \frac{1}{y(t)}$).
2. Muestre que si $y_0 \neq K$, entonces $y(t) \neq K$ para todo $t>0$. Muestre que la solución hallada en (1) tiende a $K$ cuando $t \to + \infty$.
3. Halle los $y_0> 0$ para los cuales la solución hallada en (1) es estrictamente creciente.

Resolución

Por cuestiones de tiempo no he trabajo todavía en este problema. Si quisieras que dedique mi tiempo a seguir escribiendo resoluciones a problemas como este, ayudame con un aporte libre y voluntario. El tiempo que me lleva preparar y escribir cada resolución excede el que puedo usar en mis tiempos libres.