N°07-2023

Enunciado

Una persona compra una parcela rectangular, que posee una loma amesetada en su interior. En la figura se muestran diversas curvas de nivel del terreno.

1. A partir del mapa de nivel proporcionado, indique qué superficie de revolución, representada por una ecuación de segundo grado, describe la ladera de la loma.
2. Halle el área total del terreno.
3. Si nos paramos en el punto $C$ y queremos llegar a la meseta recorriendo la menor distancia, ¿cuál es la mayor pendiente a lo largo de ese camino?
4. Se quiere construir un camino en forma de espiral que vaya desde el punto $A$ hasta el punto $D$. La proyección de este camino en el plano, que puede verse en línea de trazo grueso en el mapa de nivel, está dada por:

$$ \gamma (t) = (1,0)+ \left( -\frac{2}{3\pi}t+2\right) (\cos (t), \sin (t)). $$

Indique cómo calcular la longitud del camino (no es necesario que efectúe el cálculo explícito).

Resolución

1.

Realizemos una tabla, usando el centro de la meseta $M=(1,0)$ como referencia:

Se observa que $z$ disminuye linealmente con $r^{2}$,

$$ Z(R)=\alpha+\beta R^{2}, \tag{1} $$

es decir, se trata de un paraboloide de revolución. Determinemos los coeficientes $\alpha$ y $\beta$. Cuando $\Delta r^{2}=1 \mathrm{~km}^{2}$, resulta que $\Delta z=-0,1 \mathrm{~km}$, entonces: $$ \beta=\frac{\Delta z}{\Delta r^{2}}=-0,1 \mathrm{~km}^{-1}. \tag{2} $$

Además $z(1 \mathrm{~km})=0,3 \mathrm{~km}$, entonces $$ 0,3 \mathrm{~km}=\alpha-0,1 \mathrm{~km} \quad \Rightarrow \quad \alpha=0,4 \mathrm{~km} \tag{3} $$

2.

El área total del terreno será la suma de las áreas de la meseta ($A_m$), la ladera ($A_l$) y la llanura ($A_{ll}$).

Meseta

Primero determinemos el radio $r_{m}$ de la meseta. Aplicando la relación (1) para $z=0,38 \mathrm{~km}$ $$ 0,38 \mathrm{~km}=0,4 \mathrm{~km}-\frac{0,1}{\mathrm{~km}} r_m^{2} $$ podemos obtener $$ r_{m}=\sqrt{0,2} \mathrm{~km} . \tag{4} $$

Asi, como $A_{m}=\pi r_{m}^{2}$, $$ A_{m} \cong 0,63 \mathrm{~km}^{2}. \tag{5} $$

Ladera

Si $A_{l}$ es el área de la ladera $$ d A_{l}=2 \pi r d z \Rightarrow A_{l}=\int_{0 \mathrm{~km}}^{0,38 \mathrm{~km}} 2 \pi r d z . $$

Como $d z=2 \beta r d r$, podemos cambiar la variable de integración. Para ello debemos tener en cuenta que $z(2 \mathrm{~km})=0 \mathrm{~km}$ y $z(r_{m})=0,38 \mathrm{~km}$ (relación (4)):

$$ \begin{split} A_{l} & =\int_{2 \mathrm{~km}}^{\sqrt{0,2} \mathrm{~km}} 2 \pi r (2 \beta r d r) \\ & =4 \pi \beta \int_{2 \mathrm{~km}}^{\sqrt{0.2} \mathrm{~km}} r^{2} d r \\ & =\left.4 \pi \beta \frac{r^{3}}{3}\right|_{2 \mathrm{~km}} ^{\sqrt{0.2} \mathrm{~km}} \\ & =\frac{4}{3} \pi \beta\left((0,2)^{\frac{3}{2}}-8\right) \mathrm{km}^{3} \end{split} $$

y recordardo que $\beta=-0,1 \mathrm{~km}^{-1}$ : $$ A_{l} \cong 3,31 \mathrm{~km}^{2} $$

Llanura

El área de la llanura es la diferencia entre el área del cuadrado de $4 ~\mathrm{km}$ de lado y el círculo de $2 ~\mathrm{km}$ de radio que hay por debajo de la maseta y la ladera: $$ A_{l l}=(4 \mathrm{~km})^{2}-\pi(2 \mathrm{~km})^{2} \Rightarrow A_{l l} \cong 7,43 \mathrm{~km}^{2} $$

Terreno

Finalmente, $$ A=A_{m}+A_{l}+A_{ll}=11,37 \mathrm{~km}^{2} $$

3.

El camino más corto es aquel cuya proyección es el segmento $CM$. A su vez, la pendiente será:

$$ \left|\frac{d z}{d r}\right|=|2 \beta r|=2|\beta| r $$

que es mayor cuando el radio es mayor, es decir, en $r_{c}=\sqrt{2} ~ \mathrm{km}$ (tabla del inciso 1). Asi:

$$ \left|\frac{d z}{d r}\right|_{r_{c}} \cong 0,3 $$

4.

Primero podemos cambiar el origen al punto $M=(1,0)$ y definir $$ \tilde{\gamma}_{(t)}=(x(t), y(t))=\gamma(t)-(1,0)=\left(-\frac{2}{3 \pi} t+2\right)(\cos t, \sin t). $$

Luego debemos expresar la posición a través de la parametrización

$$ \Gamma(t)=(x(t), y(t), z(t))=(\tilde{\gamma}(t), z(t)) $$

Para obtener $z(t)$, podemos aprovechar su depencia con $r(t)$, que en este caso es $$ r_{(t)}=\left|\tilde{\gamma}_{(t)}\right|=\left|-\frac{2}{3 \pi} t+2\right| $$ entonces $$ z(t)=\alpha+\beta\left(\frac{-2 t}{3 \pi}+2\right)^{2} $$

Asi, ya tendriamos determinada la parametrización $\Gamma(t)$, con la cual es posible obtener la longitud del recorrido como $$ l=\int_{0}^{T}|\dot{\Gamma}(t)| d t $$

donde $\dot{\Gamma}(t)$ se obtiene derivando coordenada a coordenada y para obtener el tiempo de recorrido $T$ recurrimos al hecho de que

$$ \gamma(T)=D, $$

lo cual nos dará un sistema de dos ecuaciones que determinan $T$.

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