N°05-2023

Enunciado

Un líquido de masa total $m_l$ y calor específico (a presión constante) $c_p^l$ está a temperatura inicial $T_0$. Lo queremos enfriar sumergiendo un sólido de calor específico $c_p^s$ y masa total $m$, que inicialmente está a una temperatura inicial $T_1<T_0$, y que no se disuelve en el líquido.

El procedimiento consiste en dividir el sólido en varios trozos ($m_1,m_2,\cdots$) y luego colocar un trozo del sólido en el líquido, dejar al sistema líquido-trozo equilibrar térmicamente, retirar el trozo sumergido, y luego continuar de la misma manera con los trozos restantes. En este proceso vamos a despreciar cualquier intercambio de calor que nos sea entre el líquido y el sólido sumergido y considerar que los trozos los retiramos secos.

1. Ordene las siguientes estrategias de enfriamiento según la temperatura final del líquido, y justifique la respuesta.

   a) Usar un solo trozo de masa $m$.

   b) Usar dos trozos, cada uno de masa $m/2$.

   c) Usar dos trozos, el primero de masa $m/3$ y luego otro de masa $2m/3$.

   d) Usar dos trozos, el primero de masa $2m/3$ y luego otro de masa $m/3$.

2. ¿Existe otra estrategia de división de la masa $m$ que logre enfriar más el líquido? Discuta cualitativamente.

Resolución

Quisiera aclarar primero que desconozco cuál es el procedimiento que se espera que se siga en la resolución de este problema. Apenas expondré la única forma que se me ocurrió de hacerlo, que apela a una percepción amplia de las dependencias funcionales y a la predisposición a generalizarlas e identificarlas en nuevas estructuras funcionales donde no tienen porque manifestarse.

Equilibrio térmico entre un líquido y un sólido

Vamos a comenzar analizando el procedimiento general de enfriar un líquido que se encuentra a la temperatura $T_l$, cuya masa es $M_l$ y calor especifico $c_p^l$, con un sólido que inicialmente está a la temperatura $T_s$ de masa $M_s$ y calor específico $c_p^s$. Obviamente, estoy considerando el caso en que $T_l>T_s$, de manera que el líquido entrega una cantidad de calor $Q_l$ que debe balancearse con el calor $Q_s$ que el sólido recibe

$$ Q_l+Q_s=0. $$

Cada uno de estos calores es a su vez proporcional al cambio de temperatura experimentado hasta llegar a la temperatura de equilibrio $T$: $$ \begin{split} Q_l &= m_l c_p^l (T-T_l)\\ Q_s &= m_s c_p^s (T-T_s) \end{split} $$ Aquí vemos que puede ser útil medir todas las temperaturas respecto de la temperatura inicial del sólido, es decir, definimos $\theta = T -T_s$ y $\theta_0 = T_l - T_s$. Entonces tenemos que:

$$ \begin{split} Q_l &= m_l c_p^l (\theta -\theta_0);\\ Q_s &= m_s c_p^s \theta. \end{split} $$ Haciendo el balance y despejando $\theta$ obtenemos

$$ \theta=\frac{m_lc_p^l \theta_0}{m_lc_p^l+m_sc_p^s}. $$

Dado que los calores específicos y la masa del líquido se constituyen en un conjunto de parámetros constantes en todas las situaciones, podemos definir la variable $\mu= \frac{m_s c_p^s}{m_l c_p^l}$, que es proporcional a la masa del sólido $m_s$. De esta forma, la última relación adquiere la siguiente estructura funcional:

$$ \boxed{\theta (\mu)=\frac{\theta_0}{1+\mu}}.~~~~~~~~~~(1) $$

Utilizaremos este resultado general para analizar lo que propone el enunciado.

Enfriamiento iterativo

Podemos estudiar el siguiente procedimiento iterativo:

1. Equilibrar un líquido que parte de una temperatura $\theta_0$ con una fracción $\alpha m$ de sólido hasta la temperatura intermedia $$ \theta_{int} = \frac{\theta_0}{1+ \alpha \mu}. ~~~~~~(2) $$
2. Equilibrar el líquido que quedó a la temperatura intermedia $\theta_{int}$ con la fracción restante $(1-\alpha) \mu$ de sólido hasta la temperatura de equilibrio final

$$ \theta_{f} = \frac{\theta_{int}}{1+ (1-\alpha) \mu}. ~~~~~~(3) $$

Mezclemos las relaciones (2) y (3) y acomodemos con paciencia:

$$ \begin{split} \theta_{f} &= \frac{\frac{\theta_0}{1+ \alpha \mu}}{1+ (1-\alpha) \mu} \\ &= \frac{\theta_0}{[1+ \alpha \mu][1+ (1-\alpha) \mu]} \\ &= \frac{\theta_0}{1+\mu +\alpha (1-\alpha) \mu^2} \end{split} $$

donde podemos identificar que si definimos $\mu’(\alpha) = \mu +\alpha (1-\alpha) \mu^2 $, la temperatura de equilibrio del proceso iterativo es

$$ \theta_{f} = \frac{\theta_0}{1+ \mu’},~~~~~~(4) $$

totalmente análoga a la del proceso no iterativo dado por la relación (1), pero para un coeficiente $\mu’$ que es mayor a $\mu$ en $\alpha (1-\alpha) \mu^2 $, que es cuadrático en $\mu$ y depende de la forma en que se fracciona a través del producto de las dos fracciones $\alpha (1-\alpha)$.

Monotonía de las temperaturas de equilibrio

De la relación (1) se observa fácilmente como la temperatura de equilibrio $\theta(\mu)$ disminuye con el aumento de $\mu$. Esa propiedad la hereda la temperatura final del proceso iterativo dada por la relación (4). Es decir, de forma análoga podemos decir que a medida que $\mu’$ aumenta, disminuye $\theta_{f}$. Este comportamiento monótono de las temperaturas de equilibrio nos permitirá dar respuesta a los pedidos y preguntas del enunciado.

En primera instancia, podemos definir y ordenar de menor a mayor los coeficientes

$$ \begin{split} \mu’_a &= \mu \\ \mu’_c &= \mu’_d= \mu +\frac{2}{9} \mu^2 \\ \mu’_b &= \mu +\frac{1}{4} \mu^2. \end{split} $$

Así, las temperaturas finales tienen el orden inverso $\boxed{T_b<T_c=T_d<T_a}$, dando respuesta al primer inciso.

Respecto del segundo inciso, también podemos aprovechar la monotonía de la temperatura de equilibrio respecto de $\mu’(\alpha) = \mu + \alpha (1-\alpha) \mu^2$ que tiene su máximo $\mu’_M = 5\mu/4$ para $\alpha_M = 1/2$ y para el cuál la temperatura de equilibrio tiene su valor mínimo. Por ello, en caso de que la división sea en dos partes, aquella en que las mismas son iguales produce un enfriamiento más óptimo.

Resolución general en una partición discreta

Podemos extender lo hecho anteriormente a particiones arbitrarias. Es decir, si partimos $\mu$ en $N$ partes dadas por el conjunto $\lbrace \mu_i \rbrace_{i\leq N}$, entonces

$$ \begin{split} \theta_1 &= \frac{\theta_0}{1+ \mu_1} \\ \theta_2 &= \frac{\theta_1}{1+ \mu_2} \\ & \dots \\ \theta_N &= \frac{\theta_{N-1}}{1+ \mu_N} \end{split} $$

en donde estamos expresado que seguimos el siguiente procedimiento: esperamos que el líquido llegue al equilibrio ($\theta_1$) con la parte $\mu_1$, luego sumergimos la parte $\mu_2$ para que lleguen al equilibrio a la temperatura $\theta_2$ y así, sucesivamente, hasta lograr que el equilibrio final a la temperatura $\theta_N$. La misma puede obtenerse remplazando sucesivamente de manera tal que:

$$ \theta_{N} = \frac{\theta_0}{\prod_{i=1}^N (1+ \mu_i)} \text{ con } \sum_{i=1}^N \mu_i = \mu, ~~~~~~(5) $$

lo cual constituye un problema de optimización de la función $\theta_{N} (\mu_1,\dots,\mu_N)$ bajo la restricción $\sum_{i=1}^N \mu_i = \mu$. No es difícil demostrar que $\theta_{N} $ es mínima cuando $\mu_i=\mu/N$ para cualquier $i \leq N$. En ese caso

$$ \boxed{\theta_{N - \text{min}} = \frac{\theta_0}{(1+ \frac{\mu}{N})^N}}. ~~~~~~(6) $$

Partición continua

Podemos pensar que vamos extrayendo elementos infinitesimales $dm_s$ del sólido y vamos arrojándolos al líquido, de manera que los calores entregado y recibido serán

$$ \begin{split} dQ_l &= m_l c_p^l dT;\\ dQ_s &= dm_s c_p^s (T-T_s). \end{split} $$ Nuevamente podemos hacer el cambio de variables $\theta = T -T_s$ y $\theta_0 = T_l -T_s$, de manera que

$$ \begin{split} dQ_l &= m_l c_p^l d\theta;\\ dQ_s &= dm_s c_p^s \theta. \end{split} $$

Al hacer el balance, podemos integrar

$$ \begin{split} dQ_l + dQ_s & = 0 \\ m_l c_p^l d\theta + dm_s c_p^s \theta & = 0\\ d\theta + d \mu \theta & = 0\\ \int_{\theta_0}^{\theta} \frac{d \theta}{\theta} &= -\int_{0}^{\mu} d \mu \\ \ln \left( \frac{\theta}{\theta_0} \right) &= -\mu, \end{split} $$ es decir,

$$ \boxed{\theta = \theta_0 e^{-\mu}.} $$ Lo mismo puede obtenerse aplicando el límite $N \to \infty$ en la relación (6)¹. Cómo $(1+ \frac{\mu}{N})^N$ es un polinomio de grado $N$ en $\mu$ y todo polinomio está acotado por la función exponencial, es decir, $(1+ \frac{\mu}{N})^N \leq e^{\mu}$: la temperatura obtenida en la partición continua es menor que la obtenida en la partición discreta.

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