N°04-2023

Enunciado

Considere la curva descripta implícitamente por los puntos $(x,y)$ que cumplen la siguiente ecuación matricial

$$ \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} ~\mathbb{M} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+k & -1 \\ -1 & 1+k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 1 $$

con $k>1$.

Se realiza un cambio de coordenadas $v=(x+y)/\sqrt{2}$, $w=(x-y)/\sqrt{2}$. Muestre que la ecuación implícita de la curva en estas nuevas coordenadas se puede escribir como $$ \begin{bmatrix} v & w \end{bmatrix} ~\mathbb{P} \begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix} = 1 $$ para un determinada matriz $\mathbb{P}$. Encuentre dicha matriz.
¿A qué figura geométrica corresponde la curva en el nuevo sistema de coordenadas? ¿Cómo se relacionan los parámetros de la ecuación de esta curva con los autovalores de $\mathbb{M}$?
Dibuje esquemáticamente la curva en el sistema original $(x,y)$. ¿A qué figura geométrica corresponde?

Resolución

Para simplificar la notación, expresemos los vectores de la forma

$$ \overline{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} ~~~~ \land ~~~~ \overline{v} = \begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix}. $$

Así, la ecuación matricial que caracteriza a la curva se expresa como

$$ \overline{x}^T \mathbb{M} \overline{x} = 1, \text{ con } k>1. ~~~~~~~~ (1) $$

1.

Usando la nueva notación podemos expresar el cambio de coordenadas como

$$ \overline{v} = \begin{bmatrix} (x+y)/\sqrt{2} \\ (x-y)/\sqrt{2} \end{bmatrix} $$

cuyo cambio inverso es totalmente análogo

$$ \overline{x} = \begin{bmatrix} (v+w)/\sqrt{2} \\ (v-w)/\sqrt{2} \end{bmatrix} $$

y que puede re expresarse de la siguiente forma

$$ \overline{x} = \begin{bmatrix} (v+w)/\sqrt{2} \\ (v-w)/\sqrt{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix} $$

donde podemos identificar la matriz de cambio de base

$$ \mathbb{C}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} ~~~~~~~~ (2) $$

de manera que

$$ \overline{x}= \mathbb{C} \overline{v}. ~~~~~~~~ (3) $$

Si remplazamos este último resultado en la relación (1): $$ \begin{split} \overline{x}^T \mathbb{M} \overline{x} &= 1 \\ \left( \mathbb{C}\overline{v}\right)^T \mathbb{M} \left( \mathbb{C}\overline{v}\right) &= 1 \\ \overline{v}^T \mathbb{C}^T \mathbb{M} \mathbb{C}\overline{v} &= 1 \\ \overline{v}^T \mathbb{P}\overline{v} &= 1 \end{split} $$

donde identificamos la matriz buscada $$ \mathbb{P} = \mathbb{C}^T \mathbb{M} \mathbb{C}. ~~~~~~~~ (4) $$

La construyamos paso a paso, primero calculemos el producto

$$ \begin{split} \mathbb{M} \mathbb{C} &= \begin{bmatrix} 1+k & -1 \\ -1 & 1+k \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} k & 2+k \\ k & -(2+k) \end{bmatrix} \end{split} $$

y finalmente

$$ \begin{split} \mathbb{C}^T \mathbb{M} \mathbb{C} &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k & 2+k \\ k & -(2+k) \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2k & 0 \\ 0 & 2(2 +k) \end{bmatrix}, \end{split} $$

es decir,

$$ \boxed{\mathbb{P} = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & 2 +k \end{bmatrix}}.~~~~~~~~(5) $$

2.

Como $\overline{v}^T \mathbb{P}\overline{v} = 1$, tendremos que

$$ k v^2 +(2+k) w^2 =1 $$

la cual es una expresión genérica cuyos casos particulares son:

una elipse cuando $k>0$ y cuyos semiejes son $\frac{1}{\sqrt{k}}$ y $\frac{1}{\sqrt{2+k}}$ en los ejes $v$ y $w$, respectivamente;
dos rectas correspondientes a $w= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ cuando $k=0$;
una hipérbola orientada en el eje $w$ con vértices en $w_v=\pm \frac{1}{\sqrt{2+k}}$ cuando $-2<k<0$;
ninguna curva cuando $k\leq-2$.

A continuación te muestro un gráfico donde podes variar el valor del parámetro $k$ y así observar lo detallado en el párrafo anterior.

Calculemos los autovalores de $\mathbb{M}$ para ver como se relacionan con estos resultados. Su polinomio característico es

$$ \begin{split} \det(\mathbb{M}- \lambda \mathbb{I}) &= 0 \\ \begin{vmatrix} 1+k -\lambda & -1 \\ -1 & 1+k-\lambda \end{vmatrix} &=0 \\ (1+k -\lambda)^2-1 &=0 \\ 1+2(k -\lambda)+(k -\lambda)^2 -1 &=0 \\ 2(k -\lambda)+k^2 - 2k \lambda + \lambda^2 &=0 \\ k(2 +k) -2(1+k)\lambda + \lambda^2 &=0 \\ \end{split} $$

cuyas soluciones son

$$ \begin{split} \lambda_{1,2} &= \frac{2(1+k) \pm \sqrt{4(1+k)^2 - 4k(2 +k)}}{2} \\ &= (1+k) \pm \sqrt{(1+k)^2 - k(2 +k)} \\ &= (1+k) \pm \sqrt{1+2k+k^2-2k-k^2} \\ &= (1+k) \pm 1 \end{split} $$

es decir $\lambda_1=k$ y $\lambda_2=2+k$ son los coeficientes de la forma cuadrática.

Nada de esto nos debería sorprender si nos damos cuenta que la matriz $\mathbb{P}$ de la relación (5) es diagonal y por lo tanto la operación dada por la relación (4) es un proceso de diagonalización. Así, los elementos de $\mathbb{P}$ son los autovalores de $\mathbb{M}$ y los coeficientes de la nueva forma cuadrática $\overline{v}^T \mathbb{P}\overline{v}$ que adquiere una forma canónica en la base de autovectores.

3.

Para entender cómo se representa la curva en el plano $(x,y)$ será importante entender en qué consiste el cambio de base indicado en la relación (3) y caracterizado por la matriz (2). Para ello podemos analizar qué sucede con la transformación de los versores $\hat{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ y $\hat{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$:

$$ \begin{split} \mathbb{C} \hat{v} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \mathbb{C} \hat{w} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \end{split} $$

donde vemos que siguen siendo de norma unitaria y que el versor $\hat{v}$ rotó un ángulo $\pi/4$ en sentido antihorario. Lo que sucede con $\hat{w}$ puede pensarse como la misma rotación seguida de una reflexión respecto de $\mathbb{C} \hat{v}$.

A continuación te muestro un gráfico representando esta trasformación, en la que, dicho sea de paso, la forma de las curvas no se ven alteradas.

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