$\mathbb{R}^2 \backslash \lbrace xy=0 \rbrace$1 representa todos los puntos del plano en los cuales el producto $xy$ no se anula. Sea $f:\mathbb{R}^2 \backslash \lbrace xy=0 \rbrace \to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2y^2}$.
1. Halle los puntos críticos de $f$ y clasifíquelos según sean máximos, mínimos o puntos de ensilladura. 2. Halle el máximo y el mínimo absolutos de $f$ restringida al dominio $A=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2: 1/2 \leq x \leq 5,1/2 \leq y \leq 5 \rbrace$.
Resolución
Antes que nada, es evidente que el conjunto $\mathbb{R}^2 \backslash \lbrace xy=0 \rbrace$ está conformado por todos aquellos puntos del plano que no están en ningún eje cartesiano, es decir, $\mathbb{R}^2 \backslash \lbrace xy=0 \rbrace=\lbrace \mathbb{R}^2: x\neq 0 \land y\neq 0 \rbrace$.
Pasemos a tratar de obtener lo que nos piden. Para todo lo que viene usaremos la simetría existente entre $x$ e $y$. De manera que todo lo realizado para una variable es válido para la otra con tan sólo conmutar los roles.
1.
Para obtener los puntos críticos debemos obtener el gradiente de la función
es decir, los puntos críticos deben pertenecer al conjunto
$$
\boxed{\color{#0099CC}{A_c = \lbrace (1,1);(-1,1);(-1,-1);(1,-1) \rbrace}}, ~~~~~~~ (2)
$$
que a su vez está esquematizado en la Figura A.
Figura A
Dibujo del conjunto de puntos críticos $\color{#0099CC}{A_c = \lbrace (1,1);(-1,1);(-1,-1);(1,-1) \rbrace}$.
Una cuestión pertinente a esta altura del análisis, es el impacto de la simetría en los valores que la función toma en los puntos críticos. Es decir, por la simetría, es de esperar que en todos los puntos críticos la función tome el mismo valor y efectivamente se verifica que
$$
f (\overline{x}_c) = 3. ~~~~~~~ (3)
$$
Para clasificar los puntos críticos debemos regresar a la relación (1) y determinar la matriz hessiana
que cuando la evaluamos en los puntos críticos adquiere solo dos formas, una de ellas cuando las coordenadas comparten signos $(+)$ y otro cuando no lo comparte $(-)$
que al ser positivos en todos los casos, podemos decir con seguridad de que todos los puntos críticos son mínimos.
2.
En la Figura B tenemos un esquema el conjunto $\color{#FFCC66}{A=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2: 1/2 \leq x \leq 5,1/2 \leq y \leq 5 \rbrace}$. Vemos como sólo el $\color{#0099CC}{\text{punto crítico }(1,1)}$ se encuentra en su interior. Como no hay otros puntos críticos en su interior, no habrá un valor menor que el correspondiente a tal punto crítico. Recordemos que, debido a la relación (3), $f(1,1)=3$ que se trata del mínimo absoluto.
Figura B
El conjunto $\color{#FFCC66}{A=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2: 1/2 \leq x \leq 5,1/2 \leq y \leq 5 \rbrace}$ contine el $\color{#0099CC}{\text{punto crítico }(1,1)}$. Su frontera puede separarse en sus cuatro vértices $\color{#FFCC66}{V_1}$, $\color{#FFCC66}{V_2}$, $\color{#FFCC66}{V_3}$ y $\color{#FFCC66}{V_4}$ y sus cuatro aristas $\color{#FFCC66}{\partial A_1}$, $\color{#FFCC66}{\partial A_2}$, $\color{#FFCC66}{\partial A_3}$ y $\color{#FFCC66}{\partial A_4}$.
Por otro lado, el máximo absoluto solo puede encontrarse en la frontera, la cual podemos separar (Figura B) en sus cuatro vértices $\color{#FFCC66}{V_1}$, $\color{#FFCC66}{V_2}$, $\color{#FFCC66}{V_3}$ y $\color{#FFCC66}{V_4}$ y sus cuatro aristas $\color{#FFCC66}{\partial A_1}$, $\color{#FFCC66}{\partial A_2}$, $\color{#FFCC66}{\partial A_3}$ y $\color{#FFCC66}{\partial A_4}$. Veamos que sucede en ellos por separado:
Vértices
La función adquiere los siguientes valores en los vértices
$$
\begin{cases}
\begin{split}
&f(V_1)=f \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=16+\frac{1}{2}\\
&f(V_2)=f(V_4)=f \left(\frac{1}{2},5\right)=25+\frac{1}{4}+\frac{4}{25}\\
&f(V_3)=f(5,5)=50+\frac{1}{5^4}
\end{split}
\end{cases}
$$
de donde resulta evidente que
$$
f(V_3)>f(V_2)=f(V_4)>f(V_1)
$$
por ahora $f(V_3)=50+\frac{1}{5^4}$ es el principal candidato.
Aristas
Lo que suceda en $\color{#FFCC66}{\partial A_1}$ sucederá simétricamente en $\color{#FFCC66}{\partial A_4}$ y lo que suceda en $\color{#FFCC66}{\partial A_2}$ sucederá simétricamente en $\color{#FFCC66}{\partial A_3}$. Entonces basta con estudiar qué sucede con la función en $\color{#FFCC66}{\partial A_1}$ y $\color{#FFCC66}{\partial A_2}$. Para ello definamos las siguientes funciones
De esta forma, encontramos los puntos críticos $\overline{x}_1=\left(\sqrt{2},\frac{1}{2} \right) \in \partial A_1$ y $\overline{x}_2=\left(5,\sqrt{5} \right) \in \partial A_2$. Veamos cuanto vale la función en ellos
Ninguno de los valores supera a $f(V_3)=f(5,5)=50+\frac{1}{5^4}$, que sin dudas es el máximo absoluto.
Ojala te quede claro el desarrollo de este problema. Si está en tus posibilidades y valoras lo expuesto, te agradecería que me ayudes con un aporte libre y voluntario.
Nos vamos jugando
A continuación hay una gráfica de la función:
Mi video
En el contexto de la Teoría de Conjuntos, el símbolo $\backslash$ se utiliza para simbolizar la diferencia entre dos conjuntos. Es decir, $A \backslash B$ es la diferencia entre los conjuntos $A$ y $B$, y está compuesta por todos aquellos elementos de $A$ que no pertenecen a $B$.↩︎
Estamos usando un conocido teorema del cálculo de funciones de dos variables reales: Sea $f:D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $\overline{x}_0$ un punto interior del dominio $D$, $f\in C^2$ en un entorno del punto $\overline{x}_0 $ y
$$
\det H_f (\overline{x}_0) = \begin{vmatrix} \partial^2_x f (\overline{x}_0) & \partial^2_{xy} f (\overline{x}_0)\\ \partial^2_{yx} f (\overline{x}_0) & \partial^2_y f (\overline{x}_0) \end{vmatrix} \equiv \Delta.
$$
Cuando $\nabla f (\overline{x}_0) = \overline{0}$:
$$
\begin{split}
&\text{si }\Delta>0 \land \partial^2_x f (\overline{x}_0) >0 \Rightarrow f \text{ tiene un mínimo en } \overline{x}_0;\\
&\text{si }\Delta>0 \land \partial^2_x f (\overline{x}_0) <0 \Rightarrow f \text{ tiene un máximo en } \overline{x}_0;\\
&\text{si }\Delta<0 \Rightarrow f \text{ tiene un punto de inflexión en } \overline{x}_0.
\end{split}
$$
Si $\Delta=0$ no podemos decir nada con este teorema y hay que recurrir a estudiar el signo de la forma cuadrática de la matriz hessiana alrededor de $\overline{x}_0$, es decir, $(\bar{x}-\bar{x}_0)^{T}H_f (\overline{x}_0)(\bar{x}-\bar{x}_0)$. ↩︎
