N°01-2023

Enunciado

Una mancuerna es revoleada con una soga de largo $R$, y describe una trayectoria circular a una velocidad angular $\vec{\Omega}$ constante (ver figura). La mancuerna consiste en dos pesas de masa $M$ unidas por una barra rígida de largo $L$. La soga está atada a una de las masas. La masa de la barra se puede despreciar, así como la de la soga, y podemos considerar a las dos pesas como puntuales. No hay gravedad ni rozamiento. La soga se mantiene tensa en todo momento. El mango de la mancuerna y de la soga se mantienen coliniales en todo momento.

En un instante se corta la soga. Escriba las ecuaciones que describen el movimiento subsecuente de la mancuerna y dibuje esquemáticamente la trayectoria de las masas.

Resolución

La dinámica de movimiento de un cuerpo rígido está determinada por las ecuaciones que establecen cómo cambian su cantidad de movimiento total $\overline{p}$ y su momento angular $\overline{L}$. El cambio de tales magnitudes está determinado, respectivamente, por la suma de todas las fuerzas externas actuantes sobre el cuerpo rígido $\overline{F}$ y la suma de todos los momentos (torques) de tales fuerzas $\overline{\tau}$:

$$ \begin{cases} \begin{split} \frac{d\overline{p}}{dt} &= \overline{F}\\ \frac{d\overline{L}}{dt} &= \overline{\tau} \end{split} \end{cases} $$

Dado que no existen fuerzas externas, tanto la suma de las mismas como la suma de sus momentos son nulos y ambas cantidades de movimiento se conservan. Veamos las consecuencias de esto por separado.

Conservación del momento angular

Es posible demostrar que la conservación del momento angular del cuerpo rígido tiene como consecuencia la conservación de su velocidad angular. Demostrarlo necesita de una prolijidad conceptual que recurra a un profundo conocimiento de la dinámica de un cuerpo rígido. La razón de esto es que la relación entre el momento angular y velocidad angular no tiene porque ser sencilla. Intentemos hacerlo sin dejar dudas en el camino.

El ejemplo más simple es el de un cuerpo rígido que se mueve alrededor de un eje fijo que pasa por algún punto $O$, en cuyo caso el momento angular se puede expresar como el producto entre el momento de inercia $I_O$, respecto del mismo eje, con la velocidad angular $\overline{\Omega}$, es decir, $\overline{L}= I_O\overline{\Omega}$. Sin embargo, cuando damos el siguiente paso en complejidad, es decir, cuando consideramos movimientos planos del cuerpo rígido sin que éste tenga que girar alrededor de un eje fijo, difícilmente exista un punto respecto del cual el momento angular tiene una dependencia tan simple con la velocidad angular. En este caso hay que realizar un cambio de perspectiva que simplifica todo, de la misma forma que las mediciones de Tycho Brahe adquirieron una sutil simpleza cuando Johanes Kepler las analizó respecto de un sistema de referencia ligado al sol.

Pensemos el centro de masas, el cual recorrerá una trayectoria determinada. ¿Como se observaran (medirán) los fenómenos respecto de un sistema de referencia ligado a él?. Al sistema de referencia ligado al centro de masas lo denominaremos Sistema C. Si analizamos la dinámica del cuerpo rígido respecto de este sistema de referencia, tendremos que

$$ \frac{d\overline{L}_C}{dt} = \overline{\tau}_C, $$

donde $\overline{L}_C$ es el momento angular medido respecto de cualquier punto del Sistema C, al igual que las suma de los torques de las fuerzas externas $\overline{\tau}_C$. En este sistema de referencia, las fuerzas externas están constituidas por las fuerzas externas de interacción y las fuerzas externas de inercia, ya que el centro de masas podría estar acelerándose (aunque no es el caso de este problema, pero estamos aprovechando para aprender). Sin embargo, es posible demostrar¹ que la superposición de torques realizados por las fuerzas de inercia en el sistema C es cero. Este es uno de los resultados más mágicos de la mecánica (hay otro! que nos está gritando para salir, pero no es el momento). Esto nos permite confirmar que en el Sistema C, al igual que en los sistemas de referencia inercial, los cambios en el momento angular se deben sólo a los momentos de las fuerzas externas de interacción.

Volviendo al ejemplo de este problema, las fuerzas externas no producen un momento total y por lo tanto también se conserva $\overline{L}_C$. ¿Y de qué nos sirve este resultado? Lo que sucede es que en el Sistema C el cuerpo rígido gira respecto de un eje fijo que pasas por el origen (el centro de masas), entonces si $I_C$ es el momento de inercia respecto del centro de masas, el momento angular está dado por $\overline{L}_C = I_C \overline{\Omega}$. Por ello, la conservación del momento angular en el sistema C tiene como consecuencia que el cuerpo rígido rote a una velocidad angular constante.

Conclusión: cuando la suma de los torques de las fuerzas externas de interacción es nulo, se conserva el momento angular medido respecto de cualquier sistema de referencia inercial y, también, el momento angular medido respecto de un sistema de referencia ligado al centro de masas. Además, en este sistema de referencia el momento angular está dado por $\overline{L}_C = I_C \overline{\Omega}$ y por lo tanto también se conserva la velocidad angular del cuerpo rígido.

Nota: Los teoremas de conservación y sus consecuencias son de vital importancia en el desarrollo de la ciencia. Es muy común que se evalúe su correcta aplicación. Para ellos es imperiosamente necesario evaluar el cumplimiento de sus hipótesis en cada caso.

Conservación de la cantidad de movimiento

Si la masa total del cuerpo rígido es $M=2m$ y $\overline{V}_C$ es la velocidad del centro de masas, entonces la cantidad de movimiento del sistema está dada por $\overline{p} = M \overline{V}_C$. Así, la conservación de la cantidad de movimiento del cuerpo rígido implica que el centro de masas del sistema se moverá a velocidad constante.

Para determinar la velocidad del centro de masas podemos sumar algebráicamente la cantidad de movimiento de cada partícula:

$$ \begin{split} p &= p_1+p_2 \\ &= m v_{01} + m v_{02} \\ &= m R\Omega + m (R+L)\Omega \\ &= m (2R+L)\Omega. \end{split} $$

Donde hemos usado el hecho de que las velocidades iniciales de cada una de las partículas están dadas por $v_{01} =R\Omega$ y $v_{02}=(R+L)\Omega$. Finalmente, como $p=2mV_C$, tendremos

$$ V_C= \left( R + \frac{L}{2} \right) \Omega. $$

Para más adelante será de utilidad reconocer que el radio de giro del centro de masas es $R_C = \left( R + \frac{L}{2} \right)$ y por lo tanto

$$ V_C= \Omega R_C. $$

Velocidades subsecuentes

Luego de cortarse la soga, la velocidad de las partículas serán una composición entre la velocidad del centro de masas $V_C$ y sus velocidades respecto del sistema C. Podemos elegir un sistema de coordenadas cuyo origen se encuentra en la posición inicial del centro de masas y donde los ejes coincidan con la disposición inicial de la mancuerna como con la trayectoria rectilínea del centro de masas (Figura A). Así, podemos expresar las velocidades respecto del centro de masa como

$$ \begin{cases} \begin{split} \overline{v}’_1 &= - v’_1 \cos \theta ~\hat{x} - v’_1 \sin \theta ~\hat{y} \\ \overline{v}’_2 &= + v’_2 \cos \theta ~\hat{x} + v’_2 \sin \theta ~\hat{y}. \end{split} \end{cases} $$

Como $\Omega$ es constante (por la conservación del momento angular) entonces $v’_1=v’_2= \Omega R$ y $\theta = \Omega t$, por lo tanto

$$ \begin{cases} \begin{split} \overline{v}’_1 &= - \Omega R \left( \cos (\Omega t) ~ \hat{x} + \sin (\Omega t) ~ \hat{y} \right) \\ \overline{v}’_2 &= + \Omega R \left( \cos (\Omega t) ~ \hat{x} + \sin (\Omega t) ~ \hat{y} \right) \end{split} \end{cases} $$

Para obtener las velocidades en el sistema de referencia establecido por el enunciado, debemos realizar las trasformaciones

$$ \begin{cases} \begin{split} \overline{v}_1=&\overline{v}’_1+ \overline{V}_C \\ \overline{v}_2=&\overline{v}’_2+\overline{V}_C \end{split} \end{cases} $$ donde $\overline{V}_C= V_C ~ \hat{x}$, de manera que obtenemos

$$ \begin{cases} \begin{split} \overline{v}_1 &= \left[V_C - \Omega R \cos (\Omega t)\right] ~ \hat{x} - \Omega R \sin (\Omega t) ~ \hat{y} \\ \overline{v}_2 &= \left[V_C + \Omega R \cos (\Omega t)\right] ~ \hat{x} + \Omega R \sin (\Omega t) ~ \hat{y}. \end{split} \end{cases} $$

Si integramos estas ecuaciones obtendremos $$ \begin{cases} \begin{split} \overline{r}_1 &= \left[V_C t - R \sin (\Omega t)\right] ~ \hat{x} + R \cos (\Omega t) ~ \hat{y} \\ \overline{r}_2 &= \left[V_C t + R \sin (\Omega t)\right] ~ \hat{x} - R \cos (\Omega t) ~ \hat{y}. \end{split} \end{cases} $$

Ambas funciones tienen la estructura de las ecuaciones paramétricas de una cicloide². Las componentes verticales tendrán sus valores máximos y mínimos cuando $\Omega t_n = n \pi$ con $n \in \mathbb{Z}$ lo cual se da cuando $x_c= V_Ct_n= V_C n \pi/ \Omega = n \pi R_C$.

A continuación les muestro una bella simulación auspiciada por el aporte libre y voluntario.