N°14-2022

Enunciado

La figura muestra una curva cerrada $C$ que encierra una superficie de área $A$ sobre el plano. Dado un punto $P$ fuera del plano, se define el volumen $V$ delimitado por el área del plano encerrada por $C$ y todos los segmentos que unen puntos de $C$ con $P$. Si la distancia del punto $P$ al plano es $h$, mostrar que el valor del volumen es $V=Ah/3$.

Resolución

Disponemos de información sobre la superficie que define un volumen determinado y nos interesa conocer la medida de tal volumen. Surge así, casi de forma espontánea y gracias a la experiencia, una inquietud sobre la posibilidad de que el Teorema de la Divergencia para campos vectoriales sea de ayuda. Esta intuición surge del hecho de que tal teorema vincula los aspectos volumétricos del comportamiento de los campos con sus comportamientos en las superficies que definen tales regiones. Es decir, dado que

$$ \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \bar{F} d\mathcal{V} = \oint_{S=\partial \mathcal{V}} \bar{F} \cdot d\bar{S}, $$

pareciera que para aquellos campos para los cuales $ \nabla \cdot \bar{F} \neq 0$, y es uniforme en la región $\mathcal{V}$, es posible obtener el volumen $V$ de la misma como

$$ V= \int_\mathcal{V} d\mathcal{V} = \frac{\oint_{S} \bar{F} \cdot d\bar{S}}{\nabla \cdot \bar{F}}. ~~~~~~\text{(1)} $$

De esta forma, convertimos el problema de calcular una integral volumétrica en el desafío de encontrar un campo que cumpla las condiciones dadas y para el cuál la integral de superficie de la relación (1) sea fácil de determinar. Es de esperar que un campo que respete la simetría de la superficie sea un buen candidato.

La simetría radial que tiene la superficie respecto del punto $P$ es evidente, de manera que podemos comenzar agregando el requisito de que el campo esté dotado de la misma simetría, es decir, usando como origen de coordenadas el punto $P$, el campo debe ser radial:

$$ \bar{F} = f(r) \overline{r}. $$

Lo particular de este tipo de campos es que el flujo a través de la superficie de interés se reduce al flujo a través de la superficie $A$. Ya que sobre todo el resto de la frontera de $\mathcal{V}$ el campo es tangente a la superficie.

Por otro lado, veamos si la divergencia de este tipo de campos cumple con los requisitos necesarios. Recordando que $\nabla \cdot \bar{F} = \partial_x F_x+\partial_y F_y+\partial_x F_x$, vemos fácilmente que para que la divergencia no se anule basta con que alguna de las derivadas no se anule. Por otro lado, la divergencia debe ser uniforme, de manera que alcanza con que cada una de las componentes del campo sea lineal en la coordenada correspondiente y no dependa de las otras. Por ejemplo, $F_y$ puede ser lineal en $y$ y no depender de las coordenadas $x$ y $z$.

Veamos qué pasa con el campo radial más simple posible $\bar{F}=\overline{r}$. Por un lado $\nabla \cdot \bar{F} = 3$, entonces la relación (1) se reduce a

$$ V= \int_\mathcal{V} d\mathcal{V} = \frac{\oint_{S} \bar{F} \cdot d\bar{S}}{3}. ~~~~~~ (2) $$

Por otro lado, si denominaremos como $\hat{n}$ al vector normal a la superficie $A$, entonces $d\bar{S} = \hat{n} dS$ y por lo tanto

$$ \begin{split} \oint_{S} \overline{F} \cdot d\overline{S} &= \oint_{S} \overline{r} \cdot d\bar{S} \\ &= \int_{A} \overline{r} \cdot d\bar{S} \\ &= \int_{A} \overline{r} \cdot \hat{n} dS \end{split} $$

La componente $\overline{r} \cdot \hat{n}$ de $\overline{r}$ en la dirección perpendicular al plano, es la misma para cada punto perteneciente a la superficie $A$ y que a su vez coincide con $h$, es decir, $h = \overline{r} \cdot \hat{n}$:

$$ \begin{split} \oint_{S} \overline{F} \cdot d\overline{S} &= \int_{A} h dS \\ &= h \int_{A} dS. \end{split} $$

Y como $\int_{A} dS=A$

$$ \oint_{S} \overline{F} \cdot d\overline{S} = hA $$

Con este último resultado y regresando a la relación (2) llegamos a la relación buscada $$ \boxed{V =\frac{hA}{3}}. $$

Comentarios sobre la resolución

Una vez expuesta la resolución anterior, muchas personas me han manifestado su posición de que hubiese sido imposible para ellos darse cuenta de la posibilidad de usar el Teorema de la Divergencia e incluso, en ese caso, ser capaces de llevar adelante con éxito tal estrategia. Al mismo tiempo, existe un grupo de personas a las que naturalmente se les ocurrió.

A veces es el ingenio, que nos visita de vez en cuando, aquello que nos brinda una resolución de esta índole. Sin embargo, no fue mi caso, ya que fueron argumentos muy claros y constructivos los que determinaron que siga tal estrategia. La sección anterior es un intento por exponerlos.

Es natural que algunas personas se interesen por determinar el volumen siguiendo métodos directos de integración, la cuál es posible llevar adelante con la suficiente prolijidad conceptual. A continuación expongo mi intento.

Resolución directa

Veamos ahora un método más directo para calcular el volumen. Nuevamente, colocaremos el origen de coordenadas en el punto $P$. Si elegimos un eje de coordenadas $z$ perpendicular al plano que contiene a $C$, cada plano paralelo a él estará caracterizado por un valor de $z$ y la intersección con la región $\mathcal{V}$ será una superficie de área $A(z)$.

El volumen diferencial que se encuentra entre $z$ y $z+dz$ estará dado por $d V = A (z) dz$. Para llegar a esa conclusión basta con usar el Principio de Cavalieri, que nos dice que el volumen de la sección diferencial es el mismo independientemente de la inclinación. Es decir, el volumen de las dos secciones diferenciales representadas en el dibujo de la Figura A es el mismo. Esto nos lleva a que el volumen de la región $\mathcal{V}$ estará dado por

$$ V= \int_{0}^{h} A (z) dz.~~~~~~(3) $$

Así, el problema se reduce a encontrar la dependencia $A(z)$. Para ello, trataremos de entender cómo es que están vinculadas dos diferenciales de superficie rectangulares de igual ángulo sólido respecto del punto $P$ ubicadas a diferentes alturas. En la Figura B he representado geométricamente dicha relación, en la que la superficie $dS=dxdy$ se encuentra en la coordenada $z$ y $dS’=dx’dy’$ se encuentra en la coordenada $z’$. Lo que se evidencia rápidamente es la existencia de triángulos semejantes, todos ellos comparten al punto $P$ como vértice. Gracias a tal semejanza es posible deducir que $$ \begin{split} \frac{dx}{r} &= \frac{dx’}{r’} \\ \frac{dy}{r} &= \frac{dy’}{r’} \\ \frac{z}{r} &= \frac{z’}{r’}. \end{split} $$ Podemos usar estas relaciones para vincular las superficies diferenciales a diferentes alturas $$ \begin{split} dS &= dx dy \ &= \left( \frac{r}{r’} \right)^2 dx’dy’ \ &= \left( \frac{z}{z’} \right)^2 dS’. \end{split} $$ De esta manera, las superficies $A(z)$ que subtiendan el mismo ángulo sólido respecto de $P$ se vincularán de igual forma $$ A(z) = \left( \frac{z}{z’} \right)^2 A(z’). $$ Si $z’=h$, entonces obtenemos la relación buscada: $$ A(z) = \left( \frac{z}{h} \right)^2 A, $$ donde se observa que el área cambia cuadráticamente con $z$. Finalmente, regresando a la relación (3): $$ \begin{split} V=& \int_{0}^{h} A (z) dz \\ &= \frac{A}{h^2} \int_{0}^{h} z^2 dz \\ &= \frac{A}{h^2} \frac{h^3}{3} \\ &= \frac{Ah}{3}, \end{split} $$ como queríamos demostrar.

$$ \boxed{\text{FIN}} $$