N°12-2022

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} $ una función continua con derivadas primeras continuas (de clase $C^1$).

1. Sabiendo que en la superficie de la esfera de radio $1$ el valor de $f$ es constante, hallar los valores posibles de $$ \frac{\nabla f\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\left|\left| \nabla f\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\right|\right|} $$ 2. Si para todo $(x,y,z)$ en la superficie de la esfera de radio $1$ se cumple que $f(x,y,z) = x+y$, calcular los posibles valores de $\nabla f (1,0,0)$.

Resolución

Por comodidad, voy a definir la superficie de la esfera de radio $1$ centrada en el origen como $\partial B(1) = \left\lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \left|(x,y,z)\right| = 1 \right\rbrace$¹.

1. Dado que $f$ es constante en $\partial B(1)$, entonces $\partial B(1)$ es una superficie de nivel de $f$ y, como es sabido, el gradiente de una función es normal a sus superficies de nivel.

El cociente que se pide buscar, es un vector unitario que tiene la dirección del gradiente. Como $\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ es un vector unitario normal a $\partial B(1)$, en el punto caracterizado por las mismas coordenadas, $$ \boxed{\frac{\nabla f\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\left|\left|\nabla f\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\right|\right|} = \pm \left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}, $$ donde estamos contemplando la posibilidad de que el gradiente sea antiparalelo a $\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.

2. El resultado anterior es fácilmente generalizable. Si alguna función $g(x,y,z)$ tiene como superficie de nivel a $\partial B(1)$, entonces $\forall \left( x,y,z \right) \in \partial B(1)$ $$ \frac{\nabla g\left( x,y,z \right)}{\left|\left|\nabla g\left( x,y,z \right)\right|\right|} = \pm \left( x,y,z \right), $$ que podemos reescribir diciendo que $\forall \left( x,y,z \right) \in \partial B(1)$, existe $k\in \mathbb{R}$ tal que $$ \nabla g\left( x,y,z \right) = k \left( x,y,z \right). ~~~~~~\text{(2)} $$

Concentrándonos específicamente en la función $f(x,y,z)$ es tal que $f \left. (x,y,z) \right|_{\partial B(1)} = x + y$, podemos definir $$ g\left( x,y,z \right) =f(x,y,z) - (x+y). $$

La ventaja de esta definición es que $g \left. (x,y,z) \right|_{\partial B(1)} = 0$. Es decir, $\partial B(1)$ es una superficie de nivel de $g$ y se cumplen las hipótesis que dan validez a la relación (2) para $(x,y,z)=(1,0,0)$. Así, existe $k$ tal que $\nabla g (1,0,0) = k (1,0,0)$ y podemos hacer el siguiente desarrollo:

$$ \begin{split} \nabla g (1,0,0) &= \nabla f(1,0,0) - \left. \nabla (x+y) \right|_{(1,0,0)} \\ k (1,0,0) &= \nabla f(1,0,0) - (1,1,0), \end{split} $$ de donde es posible obtener que $$ \boxed{\nabla f(1,0,0) = (k+1,1,0) \ \text{con } k\in \mathbb{R}}. $$