N°08-2022

Enunciado

En un juego de azar, al comenzar una partida un participante saca una bola del conjunto formado por 95 bolas rojas y 5 amarillas. Si la bola extraída es de color amarillo, el participante termina el juego con 0 puntos. Si la bola es roja, el participante obtiene 5 puntos y continua el juego, implementando un cambio: retira la bola roja e incorpora una bola amarilla. Luego, el participante saca otra bola; si la misma es de color rojo suma 6 puntos y continua con el juego. Si en cambio es de color amarillo termina con el puntaje acumulado hasta el momento. La secuencia se repite hasta sacar una bola amarilla, que determina el final de la partida. Cada vez que saca una bola roja suma tantos puntos como las amarillas que hay en en el conjunto en ese momento, y luego vuelve a cambiar una bola roja por una amarilla.

1. Determinar el puntaje máximo obtenible en una partida. 2. Calcular la probabilidad de que un jugador termine el juego con 18 puntos.

Resolución

1. En el esquema de la Figura A te estoy mostrando una representación las secuencias de eventos correspondientes a un juego exitoso. Podes ver como las bolas rojas van decreciendo a medida que las bolas amarillas aumentan, manteniendo un total de 100 en la bolsa. Podes pensar que en el medio de cada situación sucede un evento, el de ganar cierta cantidad de puntos. Como la cantidad que se obtiene, corresponde a la cantidad de bolas amarillas que hay al momento de sacar una roja, podemos decir que la sucesiva suma de bolas amarillas nos dará como resultado el puntaje máximo.

Inicialmente hay $5$ bolas amarillas y por lo tanto en el primer evento se ganan $5$ puntos. La última situación en la que se ganan puntos corresponde al caso en que hay 1 bola roja y 99 amarillas, siendo este ultimo valor el puntaje que se obtiene al sacar la ultima bola roja y ganar el juego. Así, el puntaje máximo estará dado por

$$ \left. \begin{aligned} P_{\text{máx}} &= \sum_{i=5}^{99} i \\ &= \sum_{i=1}^{99} i - \sum_{i=1}^{4} i \\ &= \frac{99(99+1)}{2} - \frac{4(4+1)}{2}\\ &=4950-10 \end{aligned} \right] \Rightarrow \boxed{P_{\text{máx}}=4940} $$

2. Ahora presta atención al nuevo esquema que te muestro en la Figura B, que representa una cadena de cuatro eventos ${g_5,g_6,g_7,p_8}$ que lleva a un jugador a obtener 18 puntos. El evento $g_i$ indica que se ganaron $i$ puntos y el evento $p_i$ indica que se perdió con $i$ bolas amarillas. Así, la probabilidad de obtener ese puntaje es equivalente a la probabilidad de que sucedan los cuatro eventos $P(18~ptos) = P(g_5\cap g_6 \cap g_7 \cap p_8)$.

Como se puede entender fácilmente, cada evento ocurrirá sólo si el anterior ocurre, de manera que es de esperar que nos sirva el concepto de probabilidad condicionada que, a su vez, se vincula con la probabilidad conjunta mediante la relación $$ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ cuya expresión más cómoda para la situación es $$ P(A \cap B) = P(A|B) P(B). $$ Reordenando la cadena de eventos en términos de causalidad, podemos ir desglosando la probabilidad buscada, de la siguiente forma:

$$ \begin{aligned} P(18~ptos) &= P(p_8 \cap g_7 \cap g_6 \cap g_5) \\ &= P(p_8 | g_7 \cap g_6 \cap g_5) P(g_7 \cap g_6 \cap g_5) \\ &= \frac{8}{100} P(g_7 \cap g_6 \cap g_5) \\ &= \frac{8}{100} P(g_7 | g_6 \cap g_5) P(g_6 \cap g_5) \\ &= \frac{8}{100} \frac{93}{100} P(g_6 \cap g_5) \\ &= \frac{8}{100} \frac{93}{100} P(g_6 | g_5) P(g_5)\\ &= \frac{8}{100} \frac{93}{100} \frac{94}{100} P(g_5)\\ &= \frac{8}{100} \frac{93}{100} \frac{94}{100} \frac{95}{100} \end{aligned} $$

es decir,

$$ \boxed{P(18~ptos) = \frac{8 \cdot 93 \cdot 94 \cdot 95}{100^4} \approx 0,07.} $$