N°07-2022

Enunciado

La transmisión de información en una red social formada por individuos interactuantes puede modelarse aproximadamente mediante una ecuación diferencial. Se define $x$ como la fracción de individuos que conocen cierta información. El modelo propone que la variación temporal de $x$ es proporcional tanto a la fracción de individuos que conocen dicha información como a la fracción de individuos que aún no la conocen, por lo tanto: $$ \frac{dx}{dt} = \alpha x (1-x) ~~~~~~\text{(1)} $$ siendo $\alpha$ un coeficiente relacionado con el grado de interacción entre los individuos de la red.

1. Integrar la ecuación para hallar la forma general de $x(t)$.

2. La solución $x(t)$ del punto anterior puede escribirse de la forma $$ x(t) = \frac{A}{1+B e^{-\gamma t}}. ~~~~~~\text{(2)} $$ Si se sabe que $x(t=0)=x_0$. ¿Cuánto valen $A$, $B$ y $\gamma$?

Resolución

1. Antes que nada, cuando $x_0 = 0$ o $x_0 = 1$, la derivada $x$ es nula y la facción de individuos permanece inalterable. Luego, con condiciones iniciales distintas a estas, podemos separar variables en la ecuación diferencial (1) para integrar de la siguiente forma $$ \int \frac{dx}{x(1-x)} = \int \alpha dt + C. ~~~~~~\text{(3)} $$ El primer miembro se puede integrar proponiendo la siguiente separación en fracciones simples, $$ \frac{1}{x(1-x)} = \frac{a}{x} +\frac{b}{(1-x)}, $$ que es equivalente a $$ 1 = a(1-x)+bx, $$ y de donde es fácil ver que $a=b=1$, ya que la relación deber ser valida para cualquier valor de $x$ y en particular para $x=1$ y $x=0$. Así, la integral (3) puede reescribirse: $$ \begin{aligned} \int \frac{dx}{x}+ \int \frac{dx}{(1-x)} &= \alpha t + C \\ \ln x - \ln (1-x) &= \alpha t + C \\ \ln \frac{x}{(1-x)} &= \alpha t + C \\ \frac{x}{(1-x)} &= e^{\alpha t + C} \\ x &= \frac{e^{\alpha t + C}}{1+e^{\alpha t + C}} \\ x &= \frac{1}{1+e^{-\alpha t - C}} \end{aligned} $$ Podemos definir $c=e^{-C}$ y tenemos $$ \boxed{x (t) = \frac{1}{1+ce^{-\alpha t }}.} ~~~~~~\text{(4)} $$

Podemos ver que esta solución contempla los casos en que $x_0=0$ y $x_0=1$ cuando $c \to \infty$ y $c = 0$, respectivamente. Así, podemos considerar que (4) es una solución general al problema.

2. Como $x(0)=x_0$, la relación $(4)$ nos brindará información sobre la constante $c$: $$ x_0 = \frac{1}{1+c} \Rightarrow c = \frac{1-x_0}{x_0}. $$

Finalmente, si comparamos las relaciones (2) y (4), teniendo en cuenta que la solución debe ser única, resulta inmediatamente, por comparación, que $$ \boxed{ \begin{split} A &=1 \\ B &=c=\frac{1-x_0}{x_0}\\ \gamma &=\alpha \end{split} }. $$