N°05-2022

Enunciado

Afirmar en cada uno de los cuatro casos siguientes si la afirmación es verdadera o falsa, justificando su respuesta (en todos los casos $I$ es la matriz identidad).

1. Sea $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ una matriz diagonalizable con autovalores $\lambda_1$,…,$ \lambda_k$ reales tales que $|\lambda_1|= \cdots= |\lambda_k|=1$. Entonces , $A^2=I$.

2. Sea $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ una matriz diagonalizable con autovalores $\lambda_1$,…,$ \lambda_k$ complejos tales que $|\lambda_1|= \cdots= |\lambda_k|=1$. Entonces , $A^2=I$.

3. Existe una matriz $P \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ tal que $$ P^2 = \left( \begin{matrix} -1 & -2 & 2\\ 0 & -1 & 0\\ -1 & -3 & -4 \end{matrix} \right) ~~~~~~\text{(1)} $$

4. Sea $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ tal que $A^2=I$. Entonces el polinomio característico de $A$, dado por $p_A (x) =\det (xI-A)$, es alguno de los siguientes: $(x-1)^2$, $(x+1)^2$, $(x-1)(x+1)$.

Resolución

Sabemos que $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ es diagonalizable si $\exists P \in \mathbb{C}^{n \times n}$ invertible tal que la matriz $D=P^{-1}AP$ es diagonal y constituida por los denominados autovalores de $A$.

Dado que $A=PDP^{-1}$:

$$ \begin{aligned} A^2 &= (PDP^{-1})(PDP^{-1}) \\ &= PD(P^{-1}P)DP^{-1}\\ &= PDIDP^{-1} \\ &= PDDP^{-1} \\ &= PD^2P^{-1} \end{aligned} ~~~~~~\text{(2)} $$

La matriz diagonal $D$ es tal que $D_{ii} = \lambda_{j(i)}$ con $1 \leq j(i) \leq k$ ¹, entonces la matriz $D^2$ también es diagonal y tal que $D^2_{ii} = \lambda^2_{j(i)}$ con $1 \leq j(i) \leq k$. A partir de este planteo, que tomaremos como base, bifurcaremos el análisis hacia las primeras dos proposiciones y luego continuaremos con las dos últimas, que se encuentran al margen del mismo.

1. Cuando los autovalores son reales, $\lambda^2_{j(i)} = |\lambda_{j(i)}|^2 = 1$, entonces $D^2_{ii} = 1$ con $ 1\leq i \leq n$. Es decir, $D^2=I$. Volviendo a la última de las relaciones (2), tenemos que $A^2= PIP^{-1} = PP^{-1} = I$. De esta forma, queda demostrado que la afirmación es verdadera.

2. Cuando los autovalores son complejos, la condición $|\lambda_{j(i)}|^2 = 1$ no asegura que $\lambda^2_{j(i)} = 1$. El ejemplo más sencillo es aquel en que $\lambda_{j(i)} = i$, que implica que $D^2_{ii} = \lambda^2_{j(i)} = -1$, es decir, $D^2 = -I$. En este caso, $$ A^2 =P(-I)P^{-1}= -PP^{-1} = -I
$$ Con este contra ejemplo, queda demostrado que la afirmación es falsa.

3. Como $P \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ entonces $\det (P) \in \mathbb{R}$ y por lo tanto $\det^2 (P) \geq 0 \ \forall P$. Además, por las propiedades del determinante, $\det (P^2) =\det^2 (P)$, de manera que el determinante del cuadrado de una matriz real no puede ser negativo, es decir, $\det (P^2) \geq 0 \ \forall P \in \mathbb{R}^{n \times n}$.

La matriz propuesta por la relación (1) es tal que $\det (P^2) =-6$, lo cual es contradictorio con la condición de que la matriz $P$ sea real. Así, la afirmación es falsa.

4. Podemos aprovechar el hecho de que $p_A(-x) = \det (-xI-A) = \det (xI+A)$ ², de manera que: $$ \begin{aligned} p_A(x)p_A(-x) &= \det (xI-A) \det (xI+A) \\ &= \det \left[ (xI-A) (xI+A)\right] \\ &= \det (x^2I+xA-xA-A^2)\\ &= \det (x^2I-A^2)\\ &= \det (x^2I-I) \\ &= \det \left[(x^2-1)I\right] \\ &= (x^2-1)^2 \det(I); \end{aligned} $$ es decir, $$ p_A(x)p_A(-x) =(x^2-1)^2 $$ Resultado que es posible poner en palabras diciendo que las raíces del polinomio de cuarto grado $p_A(x)p_A(-x)$ pertenecen al conjunto: $$ R = \lbrace 1,-1 \rbrace. ~~~~~~\text{(3)} $$ Por otro lado, si $x_1$ y $x_2$ son las raíces del polinomio característico de $A$, entonces $p_A(x) =(x-x_1)(x-x_2)$ y $p_A(-x) =(x+x_1)(x+x_2)$. Así $$ \begin{aligned} p_A(x)p_A(-x) =&(x-x_1)(x-x_2) \cdot \\ &(x+x_1)(x+x_2). \end{aligned} $$ Resultado que nos dice que $$ R = \lbrace x_1,x_2,-x_1,-x_2\rbrace. $$ Comparando con la relación (3), es necesario que se cumpla alguna de las siguientes posibilidades para las raíces de $p_A(x)$: $$ \begin{aligned} (x_1,x_2) &= (1,1) \\ (x_1,x_2) &= (1,-1) \\ (x_1,x_2) &= (-1,1) \\ (x_1,x_2) &= (-1,-1), \end{aligned} $$ que nos llevan a la inevitable condición de que $p_A(x) \in \lbrace (x-1)^2, (x-1)(x+1), (x+1)^2\rbrace$. Es decir, la afirmación es verdadera.