N°03-2022
Enunciado
Dos pequeños altavoces están separados una distancia de $3,5 ~ \text{m}$ entre sí, ambos apuntando hacia una pared a $5 ~ \text{m}$ delante de ellos. Los altavoces emiten una onda sonora de la misma intensidad y frecuencia, pero no necesariamente con la misma fase. En estas condiciones, un micrófono colocado en la pared, equidistante de los altavoces, no detecta señal. Al desplazar el micrófono hacia los lados sobre la pared, la señal registrada por el micrófono alcanza un máximo a $0,84 ~ \text{m}$ del punto inicial.
¿Cuál es el desfasaje entre las dos ondas emitidas por los altavoces?
¿Cuál es la frecuencia del sonido emitido por los altavoces?
Nota: todos los elementos están en el plano del dibujo. Suponer que en las condiciones del problema la intensidad de las ondas no depende de la distancia a la fuente y que la velocidad del sonido es $330 ~ \text{m/s}$.
Resolución
Podemos representar las funciones de las ondas emitidas por los altavoces de la siguiente manera:
$$ \begin{cases} \begin{aligned} \psi_1 &= \psi_0 \sin (\omega t - kr_1 + \phi_1), \\ \psi_2 &= \psi_0 \sin (\omega t - kr_2 + \phi_2). \end{aligned} \end{cases} $$
La onda producida por la superposición estará dada por
$$ \psi = \psi_0 \left[ \sin (\omega t - kr_1 + \phi_1) + \sin (\omega t - kr_2 + \phi_2)\right]. $$
Para desarrollarla podemos aprovechar la siguiente identidad, $$ \sin A + \sin B = 2 \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \sin \left( \frac{A+B}{2} \right), $$
de manera que
$$ \begin{aligned} \psi =& 2\psi_0 \cos \left( k\frac{r_2-r_1}{2}+\frac{\phi_1-\phi_2}{2} \right) \\ &\sin \left( \omega t - k\frac{r_1+r_2}{2}+\frac{\phi_1+\phi_2}{2} \right), \end{aligned} $$
donde se observa que la amplitud de la onda resultante es
$$ \psi_M = 2\psi_0 \cos \left( k\frac{r_2-r_1}{2}+\frac{\Delta \phi}{2} \right) ~~~~~~\text{(1)} $$
1. La interferencia es destructiva cuando la amplitud de la relación (1) se anula, lo cual es equivalente a pedir que $$ \cos \left( k\frac{r_2-r_1}{2}+\frac{\Delta \phi}{2} \right)=0. $$ Es decir, debe cumplirse que $$ k\frac{r_2-r_1}{2}+\frac{\Delta \phi}{2}=(2n+1)\frac{\pi}{2} \ \text{con } n\in \mathbb{Z}. $$ Como el micrófono se encuentra en una posición equidistante de los altavoces, la relación se reduce a $$ \boxed{\Delta \phi=(2n+1)\pi \ \text{con } n\in \mathbb{Z}}.~~~~~~\text{(2)} $$ Es decir, la diferencia de fase debe ser un múltiplo impar de $\pi$.
2. La interferencia es constructiva cuando $$ \cos \left( k\frac{r_2-r_1}{2}+\frac{\Delta \phi}{2} \right)=\pm 1, $$ es decir, cuando $$ k\frac{r_2-r_1}{2}+\frac{\Delta \phi}{2} =m \pi \ \text{con } m\in \mathbb{Z}. $$ Remplazando la diferencia de fase definida por la relación (2) $$ k(r_2-r_1) =\left[ 2(m-n)-1 \right] \pi \ \text{con } m,n\in \mathbb{Z}. $$ El punto de interferencia que estamos buscando, corresponde al menor valor de $|r_2-r_1|$. Podemos considerar el caso en que $r_2>r_1$ y por lo tanto la interferencia constructiva corresponde a $m=n$.Es decir, $$ k(r_2-r_1) = \pi. $$ Como $k=\omega/c=f/(2\pi c)$ tendremos que $$ f =\frac{c}{2(r_2-r_1)}. ~~~~~~\text{(3)} $$ Ahora nos falta determinar la diferencia $r_2-r_1$. Para ello hagamos uso del esquema de la Figura A. En ella se puede deducir fácilmente que $$ \begin{aligned} r_1 &= \sqrt{\left(\frac{a}{2}-c \right)^2+b^2} = 5,08 \ m \\ r_2 &= \sqrt{\left(\frac{a}{2}+c \right)^2+b^2}=5.63 \ m. \end{aligned} $$ Así, de la relación (3) es posible deducir que $\boxed{f=300 \text{ Hz}}$.
