N°02-2022

Enunciado

1. Mostrar que existen infinitos valores de $x$ para los cuales la serie $$ \sum_{n=0}^{\infty} \sin (2 \pi n x) $$ es convergente.

2. Mostrar que la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2 \pi n x)}{n^2} $$ es convergente para todo $x$.

Resolución

1. Podemos comenzar recordando que $$ \sin (2 \pi k) = 0 \ \forall k \in \mathbb{N}. $$ Así, cuando $x \in \mathbb{N}$ entonces $nx \in \mathbb{N}$ de manera que

$$ \sin (2 \pi n x) = 0 \ \forall n,x \in \mathbb{N} $$ y por lo tanto la serie $$ \sum_{n=0}^{\infty} \sin (2 \pi n x), $$ es convergente a $0$. Así, cuando $x$ coincide con cualesquiera de los infinitos números naturales la serie converge. Esto no descarta otras posibilidades como, por ejemplo, el mismo razonamiento aplicado a los números enteros o al de todos aquellos números racionales de la forma $q/n$ con $q$ entero.

2. Usaremos el hecho de que toda serie absolutamente convergente es convergente, de manera que alcanzará con demostrar que la siguiente serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin (2 \pi n x)|}{n^2}, $$ converge. Como $|\sin (2 \pi n x)| \leq 1$ entonces $$ \frac{ |\sin (2 \pi n x)|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}. $$ Como la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge ¹ y la última desigualdad vincula los términos generales de las dos series positivas, entonces, por el criterio de comparación, la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2 \pi n x)}{n^2}$ es absolutamente convergente.