N°01-2022

Enunciado

Alicia tiene un globo desinflado cuya masa es $5~g$. Lo infla con helio a $0°C$ hasta que queda suspendido, sin caer ni elevarse. Supondremos que en todo momento la presión interior del globo es igual a la externa.

1. Considerando que la temperatura del helio se mantuvo a $0$ °C, hallar el volumen al que inflo el globo.

2. A media que la temperatura del globo se iguala con la del ambiente, ¿qué sucede con el globo?¿Se mueve?¿Hacia dónde? Justifique su respuesta.

Datos:

  • Masa molar del aire, $M_{aire} = 28.9 \ \text{g/mol}$
  • Masa molar del helio, $M_{He} = 4,0 \ \text{g/mol}$
  • Constante universal de los gases,
  • $R=8,314 \ \frac{\text{Pa $m^3$}}{\text{mol K}}$
  • Presión atmosférica, $p_{atm} = 101,3 \text{ kPa}$
  • Temperatura ambiente, $T_{amb}=25 \text{ °C}$

Resolución

1. Para determinar el volumen del globo cuando el gas de helio se encuentra a $0$ °C, haremos uso de los siguientes aspectos: el balance de fuerzas que permite el equilibrio del globo y los comportamientos, como gases ideales, del gas de helio y el aire.

  • Balance de fuerzas. Sobre el sistema globo-helio, actúan la fuerza peso del globo $m_g g$, la fuerza peso del gas de helio $m_{He}g$ y el empuje $B$ que realiza el aire sobre el sistema: $$ B= m_g g + m_{He} g. ~~~~~~\text{(1)} $$ Como el empuje está dado por $B = \rho_{aire} g V_{He}$, resulta que $$ \rho_{aire} V_{He}= m_g + m_{He}, ~~~~~~\text{(2)} $$ donde se observa que es necesario obtener información tanto sobre la densidad del aire $\rho_{aire}$ como sobre la masa del gas de helio $m_{He}$. Las obtendremos de las ecuaciones de estado del gas de helio y el aire.

  • Ecuación de estado del gas de helio. Como el gas se encuentra a una presión atmosférica, a una temperatura $T_{He} = 273,15 ~\text{K}$ y cuenta con una cantidad de moles dada por $n_{He} = m_{He}/M_{He}$, la ecuación de estado queda expresada como $$ p_{atm} V_{He} = \frac{m_{He}}{M_{He}} R T_{He}, ~~~~~~\text{(3)} $$ de donde podemos obtener la masa del gas de helio $$ m_{He} = \frac{M_{He} p_{atm} }{R T_{He}} V_{He}. ~~~~~~\text{(4)} $$

  • Ecuación de estado del aire Para una masa de aire $m_{aire}$ que ocupa un volumen $V_{aire}$ a una presión atmosférica y una temperatura ambiente $T_{amb} = 298,15 ~\text{K}$, la ecuación de estado puede expresarse de la siguiente forma $$ p_{atm} V_{aire} = \frac{m_{aire}}{M_{aire}} R T_{amb}, $$ de donde es posible obtener la densidad de aire en tales condiciones, $$ \rho_{aire}= \frac{p_{atm} M_{aire}}{R T_{amb}}. ~~~~~~\text{(5)} $$ Ahora debemos remplazar las relaciones (4) y (5) en la relación (2): $$ \frac{p_{atm} M_{aire}}{R T_{amb}} V_{He}= m_g + \frac{M_{He} p_{atm} }{R T_{He}} V_{He}, $$ y así, obtener el volumen buscado: $$ \boxed{V_{He} = \frac{m_g R}{p_{atm} \left( \frac{M_{aire}}{T_{amb}} - \frac{M_{He}}{T_{He}} \right)}}, $$ es decir, $\boxed{V_{He} \approx 5 \times 10^{-3} \ m^3 = 5 \ \text{L}}$.

2. A media que la temperatura del globo se iguala con la del ambiente, el volumen del gas de helio aumenta. Es fácil deducir esto de la ecuación de estado (3) de donde se observa que el cociente $V_{He}/T_{He}$ debe permanecer constante en las condiciones dadas. Por ello, el empuje $B$ aumentaría y el balance dado por la relación (1) no se mantendría, ya que las otras dos fuerzas permanecen inalterables. Al aumentar, el empuje supera a las dos fuerzas gravitatorias y el sistema globo-helio comienza a elevarse.