Mecánica N°04-2020

Enunciado

Se realiza un disparo desde un punto de una rampa de ángulo $\alpha$. El disparo debe alcanzar un punto situado también sobre la rampa, a distancia $L$ del punto de disparo (medida sobre la rampa).

a) Si no se considera el rozamiento del aire, ¿para qué valores de la velocidad inicial $v_0$ del proyectil y el ángulo $\theta$ se alcanza el blanco?
b) De las posibilidades halladas en el punto anterior, encuentre el valor de $\theta$ que minimiza el valor necesario de $v_0$.
c) Si se considera el rozamiento con el aire, modelado como una fuerza proporcional al cuadrado de la rapidez del proyectil, escriba las ecuaciones diferenciales que determinan el movimiento.

Resolución

a)

Tomando como origen de coordenadas el punto de partida del proyectil, las abscisas $(x)$ positivas hacia la derecha y las ordenadas $(y)$ positivas en dirección contraria a la gravedad, las ecuaciones paramétricas temporales del proyectil son:

$$ \begin{cases} x &= v_0 \cos \theta t \\ y &= v_0 \sin \theta -\frac{1}{2} g t^2 . \end{cases} $$

Despejando $t$ de la primera y remplazando en la segunda, encontramos la ecuación de la trayectoria

$$ y = x \tan \theta -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} x^2. $$

Para que el proyectil impacte en la rampa a una distancia $L$ del punto de partida, el punto $ (L\cos \alpha, L \sin \alpha) $ debe pertenecer a la trayectoria y por lo tanto se debe cumplir que

$$ L \sin \alpha = L\cos \alpha \sin \theta -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} L^2 \cos^2 \alpha, $$

que podemos reordenar un poco para escribirla así:

$$ \boxed{\tan\alpha = \tan \theta -\frac{gL \cos \alpha}{2v_0^2 \cos^2 \theta}}. ~~~~~~ (1) $$

Esta ecuación expresa la condición que deben cumplir $v_0$ y $\theta$ para que el proyectil impacte en el lugar mencionado.

b)

Si reexpresamos (1) de la siguiente forma

$$ \frac{gL \cos \alpha}{2v_0^2 }= \cos^2 \theta \left( \tan \theta -\tan\alpha \right), $$

es fácil observar que si $ v_0 $ es mínimo, la función $ \Delta (\theta) = \cos^2 \theta \left( \tan \theta -\tan\alpha \right) $ debe ser máxima. Derivándola e igualando a cero:

$$ \begin{split} -2 \sin \theta \cos \theta \left( \tan \theta -\tan\alpha \right) +1 = 0 \\ -2 \sin^2 \theta +2 \sin \theta \cos \theta \tan\alpha +1 = 0 \\ 1-2 \sin^2 \theta +2 \sin \theta \cos \theta \tan\alpha = 0. \end{split} $$

Como $2\sin \theta_0 \cos \theta_0 = \sin (2\theta_0) $ y $1-2\sin^2 \theta_0=\cos (2 \theta_0)$:

$$ \begin{split} \cos (2 \theta_0) +\sin (2\theta_0) \tan\alpha = 0 \\ \cos (2 \theta_0) \cos \alpha + \sin (2\theta_0) \sin \alpha = 0 \end{split} $$

Ahora, teniendo en cuenta que $\cos (\beta-\alpha) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha $

$$ \cos (2 \theta_0-\alpha) = 0. $$

Finalmente, al imponer que $0 \leq \theta,\alpha \leq \frac{\pi}{2}$, la última relación es equivalente a

$$ \begin{split} 2 \theta_0-\alpha= \frac{\pi}{2} \\ \boxed{\theta_0 = \frac{2\alpha+\pi}{4}} \end{split} $$

c)

La ecuación de Newton, teniendo en cuenta la presencia de la fuerza de rozamiento con el aire, es:

$$ m \overline{g}+ \overline{f} = m \frac{d \overline{v}}{dt} ~~~~~~ (2) $$

donde queda claro que la suma vectorial de las dos únicas fuerzas intervinientes es igual a la masa por la aceleración del proyectil. El primer miembro cuenta con dos términos y el segundo miembro sólo tiene uno. Expresemos cada uno por separado:

$ m \overline{g}$ es la fuerza peso, que sólo tiene dirección en $y$ y es contraria a la dirección positiva que elegimos. Ésto se puede expresar como $$ m \overline{g}=-mg \hat{y} ~~~~~~ (3) $$
Nos dicen que la fuerza de rozamiento con el aire es proporcional al cuadrado la velocidad. En palabras más precisas, debería decir que el módulo la fuerza de rozamiento con el aire es proporcional al cuadrado del módulo la velocidad. Eso se puede expresar algebraicamente como $f= k v^2$. Sin embargo, ¿qué hay con la dirección de dicha fuerza? Bueno, como es una interacción caracterizada por el hecho de que el aire se opone al movimiento, entonces $\overline{f}$ debe tener la misma dirección que la velocidad pero con un sentido contrario. Es decir, si definimos a $\hat{v}$ como el versor que tiene la misma dirección de la velocidad, resulta que podremos escribir la fuerza de rozamiento como $$ \begin{split} \overline{f} &= - f \hat{v} \\ &= - k v^2 \hat{v} \end{split} $$ y como la velocid,ad expresada en términos del mismo versor, es $ \overline{v} = v \hat{v} $, entonces resulta que $$ \overline{f} = - kv \overline{v}. $$ Esto es lo que se puede considerar un correcto manejo de las definiciones vectoriales sin usar, todavía, ningún sistema de coordenadas en particular. Ahí está contenida la información de la dependencia cuadrática con el modulo de la velocidad y la dirección de la fuerza en un sentido contrario a la velocidad. Pero si queremos expresar la fuerza en sus componentes dadas por las direcciones $\hat{x}$ y $\hat{y}$, debemos expresar también la velocidad en esos términos.
Es decir, si $\overline{v} = v_x \hat{x}+v_y\hat{y}$, entonces: $$ \overline{f} = - kv \overline{v} = -kv \left( v_x \hat{x}+v_y\hat{y} \right) = -k v v_x \hat{x}-k v v_y\hat{y} ~~~~~~ (4) $$
en el caso del término de la aceleración es super simple, dado que $\overline{v} = v_x \hat{x}+v_y\hat{y}$ entonces $$ m \frac{d \overline{v}}{dt} = m\frac{d v_x}{dt} \hat{x}+m\frac{d v_y}{dt}\hat{y}. ~~~~~~(5)
$$

Remplacemos (3), (4) y (5) en (2). Para hacer eso, sin enredarnos, separemos las dos direcciones: $$ \begin{cases} \hat{x}&: \ \ -k v v_x = m\frac{d v_x}{dt} \\ \hat{y}&: \ -mg-k v v_y = m\frac{d v_y}{dt} \end{cases} $$

Finalmente, sólo teniendo en cuenta que $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} $, $v_x=dx/dt$ y $v_y=dy/dt$, estas ecuaciones se pueden expresar en términos de las derivadas temporales, primeras y segundas, de las coordenadas $x$ e $y$:

$$ \boxed{ \begin{cases} - k \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \frac{dx}{dt} &= m \frac{d^2x}{dt^2} \\ -m g - k \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \frac{dy}{dt} &= m \frac{d^2y}{dt^2} \end{cases} } $$

siendo ellas las ecuaciones diferenciales buscadas.