N°02-2017
Enunciado
Un cuerpo de vidrio en forma de semiesfera maciza tiene un diámetro de $2 ~ cm$ y está apoyado sobre una mesa. El índice de refracción del vidrio es de $1,69$. Un haz de rayos de luz paralelos, que tiene una sección circular de $1 ~ cm$ de diámetro, se propaga verticalmente hacia abajo según el eje de simetría de la semiesfera. Calcular el diámetro del círculo luminoso formado sobre la mesa cuando el cuerpo está apoyado sobre:
a) la parte plana.
b) la parte esférica.
Resolución
a)
Simulación A
En la Simulación A dejo una imagen de lo que sucede en este caso, pero te dejaré este trabajo para vos, con la esperanza que que lo que te muestro en el siguiente inciso te sirva de inspiración.
b)
Figura B1
En el esquema de la Figura B1 está respresentado un rayo de luz en el extremo del haz que incide en la semiesfera sin refractarse. Luego llega a la superficie esférica con un ángulo $i$ para regresar al aire refractándose con un ángulo $r$. Desde un punto de vista geométrico, el ángulo de incidencia $i$ se realciona con el radio $R$ de la semiesfera y el diámetro $D$ del haz, mediante la expresión
$$ \sin i = \frac{D}{2R}=\frac{1}{2}, $$
mientras que desde un punto de vista físico, se relaciona con el ángulo de refracción a través de la Ley de Snell $$ n \sin i = \sin r. $$
A partir de ambas relaciones podemos obetener que $i=30^{\circ}$ y $r=57.7^{\circ}$.
Figura B2
En la Figura B2, podemos identificar que la altura del punto de incidencia respecto del suelo está dado por la diferencia $R-R \cos i$, que a su vez es el cateto adyacente al ángulo $r-i$, cuyo cateto opuesto se puede obtener como
$$ e=R(1-\cos i) \tan (r-i) $$ cuyo valor resultante es $e=0.07cm$.
Finalmente, la diferencia en entre el radio del haz $D/2$ y el radio del círculo luminoso $d/2$ es el cateto $e$, es decir,
$$ \frac{D-d}{2} = e \Rightarrow d= D- 2e $$
y por lo tanto $\boxed{d=0.86 cm}$.
El la Simulación B te muestro cómo sería la refracción del haz completo.
