N°02-2016

Enunciado

a) Hallar todas las soluciones de la ecuación diferencial ordinaria $$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 y^2 + 5y^2. $$

b) Representar gráficamente al menos dos de tales soluciones.

c) ¿Existe alguna que cumpla $y (0) = 0$?.

Resolución

a)

La ecuación diferencial se puede integrar por partes, pero hay que considerar dos casos:

1. $y(x)\neq 0$, entonces:

$$ \begin{split} \int \frac{dy}{y^2} &= \int (3x^2+5)~dx+C \\ -\frac{1}{y} &= x^3+5x+C\\ y &= -\frac{1}{x^3+5x+C} ~~~~~~\text{(1)}; \end{split} $$

2. $y(x)= 0$, que se trata de la función idénticamente nula y es otra solución a la ecuación.

b)

Como una de las soluciones es la función trivialmente nula, ya tenemos la mitad del trabajo hecho.

Por otro lado, cuando $y(x)\neq 0$, se ve claramente en la ecuación diferencial que la función $y(x)$ es monótonamente creciente (su derivada $dy/dx$ no puede ser negativa, basta con ver la ecuación diferencial). Eso implica que el polinomio de tercer grado $P(x)=x^3+5x+C$ que surge de la integración debe tener también comportamiento monótono.

Para un polinomio de esta índole, que tiene tres raíces, ¿cómo es posible que sea mónotono?

Consideremos el caso en que el polinomio tiene tres raíces reales $x_1\leq x_2\leq x_3$. Para dos raíces sucesivas, por ejempo $x_1$ y $x_2$, se cumple que $P(x_1)=P(x_2)=0$ de manera que debería existir $c \in (x_1,x_2 )$ tal que $P’(c)=0$.¹ Pero resulta que $P’(x)=3x^2+5 \neq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Entonces, $P(x)$ solo puede tener una raíz real.

Si llamamos $r$ a la única raiz real de $P(x)$ entonces es fácil ver que cuando $x=r$ la función definida por la relación (1) diverge. Como la solución debe ser monótonamente creciente y tiende a cero en $\pm \infty$, debe tener una forma como la representada en la siguiente gráfica.

c)

De lo desarrollado en el primer inciso se ve claramente que la solución trivialmente nula $y(x)=0$ cumple con el requisito pedido.