N°04-2008

Enunciado

Una masa puntual $M_1$, con una velocidad $v_1$, choca en forma el elástica con otra masa puntual $M_2$ que se encuentra en reposo.

a) ¿Cuál debe ser la relación entre las masas $M_1$ y $M_2$ para que, después del choque, la masa $M_1$ quede en reposo?

b) ¿Cuál debe ser la relación entre las masas $M_1$ y $M_2$ para que, después del choque, la masa $M_1$ no pueda desviarse a un ángulo superior a 30°?

c) ¿Qué velocidad tiene la partícula de masa $M_1$ cuando es desviada a 30°?

d) ¿Qué velocidad adquiere la partícula de masa $M_2$ cuando la partícula de masa $M_1$ es desviada a 30°? ¿A qué ángulo respecto de la dirección de incidencia es desviada?

e) Si se duplica la velocidad $v_1$, ¿cuál sería la respuesta al inciso b)?

(Sugerencia: usar el sistema Centro de Masa puede simplificar las cuentas)

Resolución

b)

Si denominamos $K$ al sistema de referencia por defecto y $CM$ al sistema de referencia ligado al centro de masa del sistema, la relación entre las velocidades finales de $M_1$ en dichos sistemas de referencia viene dada por

$$ \overline{v’}_1 = \overline{v}_{CM} + \overline{V’}_1. ~~~~~~ (1) $$

Las magnitudes primadas harán referencia al valor de las magnitudes luego de la colisión. También usaremos letras mayúsculas para hacer referencia a las magnitudes (velocidades y momentos) respecto del sistema $CM$ y letras minúsculas para las magnitudes medidas respecto del sistema $K$. Así, $\overline{v}_{CM}$ es la velocidad del centro de masa en el sistema $K$, que permanece invariable en toda la colisión y está dada por

$$ \overline{v}_{CM} = \frac{M_1}{M_1+M_2} \overline{v}_1. ~~~~~~ (2) $$

Así, usando la relación (1), la cantidad de movimiento final de $M_1$ en el sistema $K$ está dada por

$$ \overline{p’}_1 = M_1 \overline{v’}_1 =M_1 \overline{V}_{CM} + M_1\overline{V’}_1, $$

donde $M_1\overline{V’}_1 = \overline{P’}_1$ es la cantidad de movimiento final de $M_1$ respecto del sistema $CM$ y por lo tanto:

$$ \overline{p’}_1 = M_1 \overline{V}_{CM} + \overline{P’}_1 ~~~~~~ (3) $$

No es difícil demostrar que en el sistema $CM$ las cantidades de movimiento de cada partícula son todas iguales en módulo y dicha magnitud está dada por:

$$ P_1 = P’_1 = P_2= P’_2 = \mu v_{rel}
$$

siendo $\mu = M_1 M_2 /(M_1 + M_2)$ la denominada masa reducida y $v_{rel} = v_1$ es el módulo de la velocidad relativa, que en este caso coincide con la velocidad inicial de $M_1$, de manera que $$ P’_1= \frac{M_1M_2}{M_1+M_2} v_1 ~~~~~~ (4) $$

Haremos uso de la relación (3), en complemento con (2) y (4), para obtener la relación entre el ángulo de desviación de $M_1$ en ambos sistemas de referencia. Para ello, elegiremos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales tales que $\overline{v}_1 = v_1 \hat{i}$. Así, llamaremos $\theta$ a la desviación de $M_1$ en el sistema $K$ y $\phi$ en el sistema $CM$. De esta forma, la relación (3) tiene las siguiente componentes:

$$ \begin{cases} \begin{split} p’_{1} \cos \theta &= \frac{M_1^2}{M_1+M_2} v_1 + \frac{M_1M_2}{M_1+M_2} v_1 \cos \phi \\ p’_{1} \sin \theta &= \frac{M_1M_2}{M_1+M_2} v_1 \sin \phi \end{split} \end{cases} $$

El cociente entre ellas permite obtener la relación buscada

$$ \tan \theta = \frac{\sin \phi}{\cos \phi + \gamma} $$

con $\gamma = M_1/M_2$. El ángulo máximo de desviación $\theta_{max} = \pi/6$ debe ser tal que

$$ \left. \frac{d \tan \theta}{d \phi} \right|_{\phi_M} = 0 $$

donde $\phi_M$ es el ángulo asociado a $\theta_{max}$ y no es difícil demostrar que se cumple cuando $\cos \phi_M = - 1/\gamma$, $\sin \phi_M = \sqrt{\gamma^2-1}/\gamma$ y por lo tanto

$$ \tan \theta_{max} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{ \sqrt{\gamma^2-1}}{\gamma^2-1} $$

de donde resulta que $\boxed{\gamma = M_1/M_2 = 2} $.