N°04-2003

Enunciado

La función $f$ se define por la expresión:

$$ f(x) = \frac{mx^2-7x+5}{5x^2-7x+m} $$

para todos los $x \in \mathbb{R}$ tales que el denominador no se anula. Determinar todos los valores (reales) de $m$ para los cuales el rango de $f$ coincide con $\mathbb{R}$.

Resolución

La siguiente idea surgió de Lucho, quien se dedica a la Ingeniería Electrónica y ahora se encuentra en España. Hasta ahora es la única propuesta bien fundamentada que conozco.

Es importante tener presente una completa definición de la función, porque sino hay detalles que se pueden escapar y, en este ejemplo, hay algo que es determinante para dar una respuesta precisa. En particular, no podemos olvidarnos que el denominador no puede anularse. Es decir, el dominio está dado por todos aquellos valores de $x$ tales que

$$ 5x^2-7x+m \neq 0 ~~~~~~ (1) $$

Repito. No podemos olvidarnos de eso.

Esta vez no resolveré el problema, te voy a invitar a que intentes llevar adelante la siguiente estrategia.

Primero escribís $y=f(x)$ y reorganizas la función de forma implícita, quedando un polinomio de la forma $$ A(m,y)x^2+B(m,y)x+C(m,y)=0, ~~~~~~(2) $$ donde estoy expresando la dependencia de los coeficientes $A$, $B$ y $C$ con $m$ y $y$. Para que el rango coincida con los reales, la ecuación anterior debe tener al menos una solución para cualquier $y \in \mathbb{R}$. Eso nos abre dos caminos.

1. Cuando $A(m,y_0)=0$, es decir, cuando $y$ adquiere es un valor particular $y_0$ dependiente de $m$ (verán que $y_0=m/5$) entonces debe existir $x_0$ tal que $$ B(m,y_0)x_0+C(m,y_0)=0. $$ Y aquí está un detalle que se nos podría escapar, $x_0$ debe cumplir con la condición (1). Se puede demostrar que hay dos valores de $m$ para los cuales no existe $x_0$. Si le llamamos $m_1$ y $m_2$, tendremos una primera condición: $$ \boxed{m \neq m_1 ~~ \land m \neq m_2}. ~~~~~~ \text{(Condición 1)} $$

2. Cuando $A(m,y)\neq 0$, es decir, cuando $y \neq y_0$, entonces la ecuación cuadrática (2) debe tener raíces. En otros términos, su discriminante no puede ser negativo: $$ Δ_1= B^2-4AC \geq 0. $$ Esto último te va a llevar a una desigualdad de la forma $$ a(m)y²+b(m)y+a(m)\geq 0 $$ Lo anterior se cumple solo si la parábola dada por $a(m)y²+b(m)y+a(m)$ tiene concavidad positiva y tiene a lo sumo una raíz. Lo primero nos llevará a una segunda condición para $m$: $$ \boxed{a(m)>0} ~~~~~~ \text{(Condición 2)}, $$ y lo segundo se cumple cuando el discriminante de la cuadrática no es positivo, $$ Δ_2= b²-4a² \leq 0, $$ lo cual te llevará a una desigualdad de la forma $$ \alpha m²+\beta m+\gamma \leq 0. $$ Podes desarrollarla para llegar a una tercera condición para $m$ $$ \boxed{m_{\text{min}}\leq m\leq m_{m_{\text{max}}}}. ~~~~~~ \text{(Condición 3)} $$

Finalmente, hay que conjugar todas las condiciones. Es fácil ver que la Condición 3 es más restrictiva que la Condición 2. Y por otro lado ¿podes creer que $m_{\text{min}}=m_1$ y $m_{\text{max}}=m_2$? ¡Sorpresas que nos dan los detalles que no se nos escapan! Entonces, podemos estar seguros que si

$$ \boxed{m_1 < m < m_2} $$ entonces el rango de $y$ coincide con $\mathbb{R}$.

Llegué al resultado anterior pensando en que no se me había escapado ningún detalle. Hasta que me escribió Adriano Guinart, estudiante de Ingeniería Mecánica de la UTN Regional Pacheco (Buenos Aires) y me preguntó si no nos estábamos olvidando de imponer que las soluciones de (2) cuando $A(m,y)\neq 0$ cumplan con la condición (1). Y la verdad es que sí, es imperiosamente necesario dar ese último paso. Para ello, lo que podes hacer es buscar los valores de $m$ para los cuales $A(m,y)x^2+B(m,y)x+C(m,y)$ y el denominador $5x^2-7x+m$ tienen las mismas raíces. Deberías poder encontrar que eso sucede para los valores $\lbrace m_1,m_2,m_3 \rbrace$. Cuando $m$ no toma estos valores, las raíces no coinciden. Es decir, es necesario que $m$ no tome los valores encontrados. Por suerte ya hemos impuesto eso para $m_1$ y $m_2$, pero como $m_3>m_2$ el resultado final obtenido anteriormente no cambia.

Para que que tengas una referencia, los valores que debes obtener son

$$ \begin{cases} m_1 &= -12\\ m_2 &= 2 \\ m_3 &= 5 \end{cases} $$

es decir,

$$ \boxed{-12 < m < 2}. $$

Podes jugar con la siguiente gráfica para ver como se comporta la función.