N°14

Enunciado

Sea la integral $I=\int_{0}^{a}dx f(x)$. Se define

$$ J = \int_{0}^{a} f(x) \left[ \int_{0}^{x} f(y) \left( \int_{0}^{y} f(z) dz \right) dy \right] dx. $$

Entonces

(a) $J=I^3$.
(b) $J=\frac{1}{6}I^3$.
(c) $J=3I$.
(d) $J=\frac{1}{3}I^3$.
(e) $J=I$.

Resolución

Como se supone que se trata de una indentidad, se debería cumplir para cualquier función $f(x)$. Por ejemplo, podemos probar con $f(x)=1$ y ver cuál de las opciones cumple con la igualdad. Si sólo una de ellas la verifica, entonces sólo ella será candidata a la respuesta. Como se supone que debe existir una opción correcta y ninguna de ellas es “ninguna de las anteriores”, entonces dicha candidata sería la opción correcta.

En ese caso, $$ I=\int_{0}^{a}dx=a $$ y $$ J= \int_{0}^{a} \left[ \int_{0}^{x} \left( \int_{0}^{y} dz \right) dy \right] dx = \frac{a^3}{6} $$

Como sólo la opción (b) contempla este caso, entonces es la correcta.

Demostración

Para los manijas que quieren saber cómo se demuestra, les dejo el siguiente intento.

La esencia de esta demostración va a ser usar el hecho de que

$$ I (y) = \int_{0}^{y} f(z) dz ~ ~ ~ ~ ~ ~ (1) $$ y por lo tanto $$ I’(y)=f(y). ~ ~ ~ ~ ~ ~ (2) $$

Entonces la integral definida como $$ J_1 (x) \equiv \int_{0}^{x} f(y) \left( \int_{0}^{y} f(z) dz \right) dy, ~ ~ ~ ~ ~ ~ (3) $$ se puede expresar como $$ J_1 (x) = \int_{0}^{x} I’(y) I(y) dy, $$ y, más aún, como $dI=I’(y)dy$, podemos cambiar la variable de integración de $y$ a $I$: $$ \begin{split} J_1 (x) &= \int_{0}^{I(x)} I dI \\ &= \left. \frac{I^2}{2}\right|_0^{I(x)} \\ &= \frac{I(x)^2}{2} \end{split} $$ donde usamos en dos oportunidades que $I(0)=0$. Luego, como

$$ J= \int_0^a f(x) J_1(x) dx. $$ tendremos que

$$ J= \int_0^a f(x) \frac{I(x)^2}{2} dx. $$ que reorganizando y teniendo en cuenta que $f(x)=I’(x)$ puede escribirse como $$ J= \frac{1}{2} \int_0^a I’(x) I(x)^2 dx. $$

Y nuevamente, podemos cambiar la variable de integración de $x$ a $I$, ya que $dI=I’(x)dx$:

$$ \begin{split} J &= \frac{1}{2} \int_0^{I(a)} I^2 dI \\ &= \left. \frac{I^3}{6}\right|_0^{I(a)} \\ &= \frac{I(a)^3}{6} \end{split} $$ y como $I(a)=I$, obtenemos el resultado buscado

$$ \boxed{J = \frac{I^3}{6}}. $$