N°09

Enunciado

Sea $F(x,y,z)$ una función de tres variables reales, diferenciables en un dominio $U \subset \mathbb{R}^3$. Para todos los puntos $(x,y,z) \in U$, tales que se verifique $F(x,y,z) = 0$ y también $\frac{\partial F}{\partial x} \neq 0$, $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$, $\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$, resulta que $\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} = \cdots$

(a) -2
(b) -1
(c) 0
(d) 1
(e) 2

Resolución

Consideremos el caso general en que $$ F(u(v,w),v,w)=0 $$

donde $u$,$v$ y $w$ pueden ser $x$, $y$ o $z$ en el orden que uno prefiera. En este caso, si derivamos respecto de $v$ y usamos la notación reducida $\left(\frac{\partial F}{\partial u}=F_u ; \frac{\partial F}{\partial v}=F_v \right)$:

$$ F_u \frac{\partial u}{ \partial v} + F_v =0 $$

es decir

$$ \frac{\partial u}{ \partial v} = - \frac{F_v}{F_u}. $$

Aplicamos este resultado general a cada derivada del producto buscado:

$$ \begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} &= - \frac{F_x}{F_z} \\ \frac{\partial x}{\partial y} &= - \frac{F_y}{F_x} \\ \frac{\partial y}{\partial z} &= - \frac{F_z}{F_y}. \end{cases} $$

Entonces tendremos que $$ \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} = \left(- \frac{F_x}{F_z} \right)\left( - \frac{F_y}{F_x}\right)\left( - \frac{F_z}{F_y}\right) $$ es decir, $$ \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} = -1. $$

La opción (b) es la correcta.