N°08

Enunciado

Considere la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, tal que

$$ f(x) = \begin{cases} &0 ~ ~ ~ \text{si } x \text{ es irracional} \\ &1 ~ ~ ~ \text{si } x \text{ es racional} \end{cases} $$

y sean $g_1$ y $g_2$ la funciones definidas por: $g_1(x)=xf(x)$ y $g_2(x)=x^2f(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Entonces:

(a) $g_1$ y $g_2$ son continuas en $\mathbb{R}$.
(b) $g_1$ es continua en $\mathbb{R}$ y $g_2$ es continua en $x=0$.
(c) ni $g_1$ ni $g_2$ son diferenciables en $x=0$.
(d) $g_1$ es continua sólo en $x=0$ y $g_2$ es diferenciable sólo en $x=0$.
(e) $g_1$ es continua sólo en $x=0$ y $g_2$ es diferenciable $\mathbb{R}$.

Resolución

Dadas las posibles respuestas, deberíamos estudiar si $g_1$ y $g_2$ son continuas en $\mathbb{R}$ y en particular en el punto $x_0 = 0$. También debemos estudiar la diferenciabilidad en $x_0$.

La estructura de ambas funciones rápidamente delatan la imposibilidad de que sean continuas en todo $\mathbb{R}$. Por ejemplo, para $x=1$ tenemos que $$ \begin{cases} &g_1(1)=1 \\ &g_2(1)=1, \end{cases} $$ pero si calculamos los límites y nos acercaremos a $x=1$ recorriendo una sucesión de números irracionales tendremos que $$ \begin{cases} &\lim\limits_{x \in \mathbb{I} \to 1} g_1(x) = 0 \\ &\lim\limits_{x \in \mathbb{I} \to 1} g_2(x) = 0 \end{cases} $$

Así, sólo con este caso queda demostrado que ninguna de las dos funciones son continuas en $\mathbb{R}$. Así, quedan descartadas las opciones (a), (b) y (e) ($g_2$ no puede ser diferenciable sin ser continua).

Las opciones que quedan, (c) y (d) centran su atención en $x=0$. Veamos que pasa en cada caso.

Continuidad de $g_1$

Para explorar un poco, estudiemos un poco la función $g_1$, que puede expresarse como

$$ g_1(x) = \begin{cases} 0, ~ ~ &\text{ si x es irracional}\\ x, ~ ~ &\text{ si x es racional}. \end{cases} $$

Vemos que $g_1(0) = 0$. Por otro lado, al calcular el límite tenemos dos posibilidades, nos acercamos recorriendo los números irracionales, en cuyo caso

$$ \lim\limits_{x \in \mathbb{I} \to 0} g_1(x) = \lim_{x \to 0} 0 = 0 $$

o nos acercamos recorriendo los números racionales, en cuyo caso el límite es el mismo $$ \lim_{x \in \mathbb{Q} \to 0} g_1(x) = \lim_{x \to 0} x = 0. $$

Lo cuál demuestra la continuidad de $g_1$ en $x=0$. Es fácil ver que con $g_2$ sucederá lo mismo.

Diferenciabilidad de $g_2$

Las opciones (c) y (d) se diferencian en que en el segundo caso $g_2$ es diferenciable en $x=0$ y en el primero no. Así, no importa mucho que pasa con $g_1$ para encontrar la respuesta correcta.

Para estudiar la diferenciabilidad de $g_2$, podemos simplemente analizar la existencia del siguiente límite:

$$ g_2’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g_2(x+h)-g_2(x)}{h} $$ que en $x=0$ se puede desarrollar de la siguiente forma $$ \begin{split} g_2’(0) &= \lim_{h\to0} \frac{g_2(0+h)-g_2(0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{g_2(h)-0}{h} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{g_2(h)}{h}. \end{split} $$

Y aquí, podemos darnos cuenta de algo que nos viene de maravillas. Como $g_2(x)=xg_1(x)$, entonces $g_2(h)=hg_1(h)$ y por lo tanto

$ g_2’(0) = \lim_{h\to0} g_1(h), $ es decir, ¡el límite que ya demostramos que existe para demostrar la continuidad de $g_1$ en $x=0$! ¡Golazo!, ya sabemos que existe $g_2’(0)$ y la opción correcta es la (d).

Si no nos damos cuenta del último atajo, podemos hacer algo similar al procedimiento inicial. Si $h$ va disminuyendo tomando valores irracionales, como $g_2(h)=0$ tendremos que

$$ g_2’(0) = \lim_{h\to 0} \frac{0}{h} = 0. $$

Pero si $h$ se acerca adquiriendo valores racionales, $g_2(h)=h^2$, entonces $$ g_1’(0) = \lim_{h\to 0} \frac{h^2}{h} = 0, $$

por lo que el límite por todos los caminos posibles existe y la función es diferenciable en $x=0$.

Siguiendo un procedimiento similar se puede demostrar que $g_1$ no es diferenciable en $x=0$.