7. Una tabla sobre dos rodillos

Enunciado

Sobre dos rodillos de diferentes radios yace una tabla pesada que forma un ángulo $\alpha$ con el horizonte. Hallar la aceleración de la tabla. La masa de los rodillos es despreciable. No hay deslizamiento. La aceleración gravitatoria es $g$.

Respuesta

La resolución de este problema puede realizarse de una forma más resumida, pero aprovecharé la ocasión para ilustrar un uso correcto de la cinemática de un cuerpo rígido y así obtener conclusiones bien sustentadas. Muchas veces, por cuestiones de tiempo y por las exigencias del statu quo, algunas de las conclusiones que obtendremos aquí se realizan rápidamente, haciendo física “con las manos”. Es decir, llegando a resultados de forma intuitiva, con elegancia y simpleza. Este último estilo es noble y de gran valor, pero también es importante saber fundamentarlo con rigurosidad cuando sea necesario.

Rodadura con el suelo

Comencemos recordando y preguntando ¿cómo es que impacta la condición de rodadura con el suelo en la cinemática de los rodillos?. Si nos concentramos solamente en uno de los rodillos, las velocidades de cualquier par de puntos del mismo se vinculan mediante la relación

$$ \overline{v}_O = \overline{v}_P + \overline{\omega} \times \left( \overline{r}_O - \overline{r}_P \right). ~~~~~~ (1) $$

La relación anterior es muy importante y es esencial para caracterizar la cinemática de un cuerpo rígido. Si la aplicamos a puntos específicos como el centro de masas del rodillo $CM$ y el punto $A$ de contacto con el suelo (Figura A), tendremos que

$$ \overline{v}_{CM} = \overline{v}_A + \overline{\omega} \times \left( \overline{r}_{CM} - \overline{r}_A \right). $$

Y ahora toca aplicar la famosa condición de rodadura o de no deslizamiento, que se puede enunciar diciendo que “la velocidad relativa entre los puntos de contacto debe ser nula”. Pero, es común que alguien me diga “entonces ¿la condición de rodadura no es aquella que dice que $v_{CM}=\omega R$?”. Y la respuesta, rotunda, es NO. Puede pasar, como en este caso, que la condición de rodadura derive en ese resultado, pero no tiene porque ser así.

La condición de rodadura impacta directamente en la velocidad del punto de contacto $A$, ya que como el suelo está en reposo entonces el punto $A$ también: $\overline{v}_A =\overline{0}$. Lo interesante de la rodadura es que el punto de contacto puede estar en reposo pero de forma instantánea. Es decir, sin importar de qué punto del cuerpo rígido se trate, el mismo debe tener velocidad nula en el instante en que entra en contacto con el suelo. Así, el movimiento del cuerpo rígido se caracteriza por ser tal que los sucesivos puntos que entran en contacto con el suelo tienen velocidad nula al llegar al suelo, ¡magia pura y de la más bella!. Entonces:

$$ \overline{v}_{CM} = \overline{\omega} \times \left( \overline{r}_{CM} - \overline{r}_A \right). $$

La posición relativa $\overline{r}_{CM} - \overline{r}_A$ está en el plano del rodillo y nace en el punto $A$ para terminar en el centro de masas $CM$ (Figura A) , entonces su módulo es el radio del rodillo $R$. La velocidad angular $\overline{\omega}$ es perpendicular al plano de movimiento, de manera que podemos expresar todas las magnitudes en valor absoluto

$$ v_{CM} = \omega R. ~~~~~~ (2) $$

Todo lo anterior es válido para los dos rodillos. Sin embargo, hasta aquí, no sabemos la relación entre sus movimientos. Para ello debemos estudiar aquello que los vincula: la tabla.

Rodadura con la tabla

Para estudiar la rodadura con la tabla, debemos determinar la velocidad en el punto de contacto con el rodillo $B$ (Figura B). Nuevamente, nos concentraremos en lo que sucede con uno de los rodillos, ya que el análisis será válido para ambos. De esta forma, podemos aplicar la relación (1) al par de puntos $(CM,B)$:

$$ \overline{v}_B = \overline{v}_{CM} + \overline{\omega} \times \left( \overline{r}_B - \overline{r}_{CM} \right). ~~~~~~ (3) $$

La velocidad $\overline{v}_B$ es al mismo tiempo, por la condición de rodadura, la velocidad de la tabla y del rodillo en el punto de contacto. Intentemos interpretar este resultado geométricamente. Para ello, podemos darnos cuenta que como la velocidad angular $\overline{\omega}$ es perpendicular al plano de movimiento y el vector $\overline{r}_B - \overline{r}_{CM}$ es radial, el término $\overline{\omega} \times \left( \overline{r}_B - \overline{r}_{CM} \right)$ es tangente el rodillo (Figura B). A su vez, como los dos vectores del producto vectorial son perpendiculares, su modulo es

$$ || \overline{\omega} \times \left( \overline{r}_B - \overline{r}_{CM} \right) ||=\omega ||\overline{r}_B - \overline{r}_{CM}|| = \omega R, $$

es decir, recordando la relación (2)

$$ || \overline{\omega} \times \left( \overline{r}_B - \overline{r}_{CM} \right) ||=v_{CM}. $$

De esta forma, los dos términos que componen la velocidad $\overline{v}_B$ en la relación (3) tienen el mismo módulo e igual a $v_{CM}$. Este hecho se encuentra representado en la Figura C, donde además se hace presente el ángulo $\alpha$ de inclinación de la tabla, el cuál coincide con el ángulo que subtienden los dos vectores que conforman la velocidad $\overline{v}_B$. Como estos vectores tienen el mismo módulo, la velocidad $\overline{v}_B$ bisecta al ángulo $\alpha$. En otras palabras, la velocidad $\overline{v}_B$ forma un ángulo $\alpha/2$ con la línea horizontal.

Movimiento de la tabla

No nos olvidemos que, ¡este último resultado es válido para los dos rodillos! Entonces los dos puntos de contacto de la tabla se mueven a una velocidad que subtiende un ángulo $\alpha/2$ con el horizonte. Estudiemos la relación entre las velocidades de tales puntos, que podemos llamar $B$ y $B’$, respectivamente (Figura D). Las mismas, a priori, no tienen porque ser iguales, sino que deben relacionarse entre sí, por la relación (1), a traves de la velocidad angular de la tabla $\overline{\Omega}$ y la posición relativa entre los puntos $\overline{r}_{B’}-\overline{r}_{B}$:

$$ \overline{v}_{B’} = \overline{v}_B + \overline{\Omega} \times \left( \overline{r}_{B’} - \overline{r}_B \right). $$

Podemos expresar la última relación de otra forma, la cual nos permitirá caracterizar el movimiento de la tabla de manera contundente. Para ello, podemos definir la diferencia de velocidades $\Delta \overline{v}_{B} \equiv \overline{v}_{B’}-\overline{v}_{B}$:

$$ \Delta \overline{v}_{B} = \overline{\Omega} \times \left( \overline{r}_{B’} - \overline{r}_B \right). ~~~~~~(4) $$

Como las velocidades $\overline{v}_{B}$ y $\overline{v}_{B’}$ son paralelas (ambas subtienden un ángulo $\alpha/2$ con el horizonte) entonces la diferencia $\Delta \overline{v}_{B}$ tiene la misma dirección. Este hecho se representa en la Figura E, donde además representamos el producto vectorial $\overline{\Omega} \times \left( \overline{r}_{B’} - \overline{r}_B \right)$ suponiendo que la rotación tienen un sentido horario (si esto no es así, la velocidad angular obtenida será de signo negativo). En tal figura, se ve claramente que ¡los vectores que según la relación (4) son iguales, tienen necesariamente direcciones distintas!. Así, solo es posible que ambos vectores sean nulos. Veamos las consecuencias de ello:

• Los puntos $B$ y $B’$ se mueven a la misma velocidad $\overline{v}_{B} = \overline{v}_{B’}$;
• Por lo anterior, recordando que ambos dependen exclusivamente de la velocidad del centro de masas de cada rodillo, resulta que ¡las velocidades de los centros de masa de los rodillos coinciden!;
• Como $\overline{\Omega} \times \left( \overline{r}_{B’} - \overline{r}_B \right)= \overline{0}$, los dos vectores del producto son perpendiculares y $\overline{r}_{B’} - \overline{r}_B \neq \overline{0}$, entonces $\overline{\Omega} = \overline{0}$;
• Por lo anterior, la tabla tiene un movimiento puramente traslacional. Por lo tanto, la tabla se traslada siguiendo un ángulo $\alpha/2$ respecto de la línea horizontal.

Aceleración de la tabla

Para que nadie se pierda, hicimos todo lo anterior para demostrar que la tabla se traslada siguiendo un ángulo $\alpha/2$ respecto de la línea horizontal. (En el camino también nos encontramos con la grata sorpresa de que los centros de masa de los rodillos se mueven a la misma velocidad).

Hasta aquí sólo hemos obtenido, pura y exclusivamente, resultados cinemáticos del fenómeno. Sin embargo, hemos sido capaces de hacerlo al estudiar cómo es que los vínculos entre las partes del sistema condicionan algunos aspectos del movimiento. Los vínculos, en el fondo, son información de la dinámica del sistema, sin embargo no determinan el total de las interacciones. Para determinar la aceleración deberemos contemplar además el resto de las interacciones, que en este caso se trata de la interacción gravitatoria.

En lugar de recurrir a las ecuaciones de la dinámica, recurriremos a un atajo que vale la pena tomar: obtendremos la aceleración de la tabla a partir de consideraciones energéticas.

Cuando no hay deslizamiento, incluso a pesar de que las fuerzas de rozamiento no son nulas, las mismas no realizan trabajo. Así, como en este fenómeno no existen fuerzas no conservativas que realicen trabajo, se conserva la energía mecánica del sistema. A su vez, cómo la masa de los rodillos es despreciable, esto es equivalente a decir que se conserva la energía mecánica de la tabla.

Consideremos dos instantes diferentes del movimiento (Figura F):

• uno de ellos cuando la velocidad de la tabla tenía un valor inicial $v_0$ ;
• y otro donde su velocidad cambió a $v$ y su centro de masas cayó una altura $h$.

Así, tomando como origen de coordenadas la posición inicial, por la conservación de la energía mecánica de la tabla:

$$ \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v^2 - mg h $$

Como el movimiento se da en una recta que subtiende un ángulo $\alpha/2$ con el horizonte, la distancia $s$ que recorre se vincula con $h$ a través de la siguiente relación trigonométrica $h= s \tan (\alpha/2)$. Así, independizándonos de la masa y reordenando:

$$ v^2 - v_0^2 = 2 g s \tan \left(\frac{\alpha}{2} \right). $$

Como el momento inicial es de referencia, podemos derivar esta ecuación respecto del tiempo y tener en cuenta que $v=\frac{ds}{dt}$ para obtener la aceleración $a=\frac{dv}{dt}$,

$$ \begin{split} 2 v \frac{dv}{dt}&= 2 g \frac{ds}{dt} \tan \left(\frac{\alpha}{2} \right) \\ 2 v a &= 2 g v \tan \left(\frac{\alpha}{2} \right), \end{split} $$

es decir,

$$ \boxed{a = g \tan \left(\frac{\alpha}{2} \right)}. $$