4. Ingeniero más que puntual
Enunciado
Un ingeniero trabaja en una fábrica que se encuentra en las cercanías de la ciudad. Usualmente viaja en tren hasta la estación ferroviaria donde un auto de la fábrica lo lleva a su lugar de trabajo. Una vez el ingeniero llegó a la estación una hora antes de lo habitual y sin esperar el auto comenzó a caminar hacia la fábrica. En el camino encontró el auto y llegó a la fábrica 10 minutos antes de lo habitual. ¿Cuánto tiempo caminó antes de encontrar el auto? Considerar que el auto sale siempre a la misma hora de la fábrica y es regular en todo su recorrido de ida y vuelta a la estación.
Respuesta
En un día normal, el auto recorre la distancia entre la fábrica y la estación en un tiempo $T_{a}$. Le lleva el mismo tiempo hacerlo tanto de ida como de vuelta, es decir, parte a cierta hora desde la fábrica y un tiempo $T_a$ después llega a la estación, retira al ingeniero y regresa para dejarlo en la fábrica pasado un tiempo $2T_a$ desde que partió.
En este día tan particular, el auto recorre una distancia menor hasta encontrar al hombre caminando y por lo tanto el tiempo $T_a’$ del nuevo recorrido también es menor. Pero ¿qué tan menor? Bueno, el tiempo en que hace ese doble trayecto $2T_a’$ es menor al habitual ($2T_a$) en 10 minutos:
$$ 2T_a’ = 2T_a- 10 \text{ min}; $$
o, equivalentemente, la diferencia de tiempos está dada por
$$ \Delta T_a = T_a - T_a’ = 5 \text{ min}, $$
es decir, el auto se encuentra con el ingeniero $5 \text{ min}$ antes de lo habitual. Estamos a un pasito, solo hay que pensar que si el ingeniero contaba con $60 \text{ min}$ de ventaja, por llegar tan temprano, entonces al momento de encontrarse con el auto gastó $55 \text{ min}$ ¿En qué los gasto? Por supuesto, caminando.
Si lo anterior no te convence, nos concentremos en lo que sucede con el ingeniero. En particular, algo que nos ayudará a entender mejor lo que pasa, es considerar como instante de referencia el tiempo al cual llega a la estación en un día normal. Respecto de ese momento, es común para él viajar en auto un tiempo $T_a$ hasta la fábrica. Pero este día la secuencia de momentos es la siguiente:
- llega a la estación en $T_0 = -60 \text{ min}$;
- camina un tiempo $T_c$ hasta encontrarse con el auto al tiempo $T_1=T_0+T_c$;
- recorre el camino restante en auto durante un tiempo $T_a’$ para llegar a la fábrica en el tiempo $T_2=T_1+T_a’$.
Si juntamos la información de esta secuencia y tenemos en cuenta que llegaron 10 minutos antes de lo habitual, es decir, que $T_2=T_a-10\text{ min}$ tenemos que
$$ \begin{split} T_2 &= T_1 + T_a’ \\ T_a-10&= T_0+T_c + Ta’\\ T_a-10 &= -60 \text{ min} +T_c + Ta’ \\ T_c &= (T_a - Ta’) + 50 \text{ min} \\ T_c &= \Delta T_a + 50 \text{ min} \\ T_c &= 55 \text{ min}. \end{split} $$
¡Lo interesante de este problema y la forma de resolverlo es que no es necesario que los movimientos sean a velocidades constantes!