3. Densidad de un planeta

Enunciado

Al ver un planeta a lo lejos, el capitán de una nave cósmica les dice a sus tripulantes:

“Mediremos la densidad media de aquel planeta.”

Fue así que se acercaron al mismo, apagaron los motores y se pusieron en órbita circular. Luego de haber dado una vuelta, tomaron el valor del tiempo medido por un cronómetro, hicieron unas cuentas y le entregaron el resultado al capitán. ¿Cómo lo hicieron?

Respuesta

En un cuerpo de masa $m$ que recorre una órbita circular de radio $R$ a la velocidad $v$, las contribuciones centrípetas de las fuerzas que actúan sobre él deben ser de una magnitud dada por

$$ F_c = m \frac{v^2}{R}. $$

En este caso, la nave está sometida solamente a la interacción gravitatoria con el planeta, cuya masa podemos denominar $M$, de manera que $F_c=G \frac{mM}{R^2}$ y por lo tanto

$$ \begin{split} G \frac{mM}{R^2} &= m \frac{v^2}{R} \\ G \frac{M}{R} &= v^2 \\ G \frac{M}{R} &= \left(\frac{2 \pi R}{t}\right)^2 \\ M &= \frac{4 \pi^2}{G t^2} R^3, \end{split} $$

donde he usado el hecho de que la velocidad puede expresarse como el cociente entre el camino recorrido $2 \pi R$ y en el tiempo $t$. Si el planeta tiene un radio $r$, podemos calcular la densidad como

$$ \rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi r^3}, $$

entonces

$$ \boxed{\rho = \frac{3 \pi}{G t^2} \left( \frac{R}{r} \right)^3}. ~~~~~~~ (1) $$

Hasta aquí, pareciera que necesitamos conocer el radio de la órbita $R$ y el radio del planeta $r$. Sin embargo, sabemos que la nave se acercó al planeta para realizar la órbita y podemos pensar que $R = r +h$ con $h \ll r$, de manera que $\frac{R}{r} = 1 + \frac{h}{r} \approx 1 $, y podemos decir que

$$ \boxed{\rho \approx \rho_{\text{aprox}} = \frac{3 \pi}{G t^2}} ~~~~~~~ (2) $$

es un valor como el buscado, teniendo en cuenta que seguramente al capitán le interesa un valor estimado, pues al fin y al cabo el planeta no tiene por qué tener una densidad uniforme.

3ra Ley de Kepler

Es posible realizar lo anterior recordando la versión Newtoniana de la 3ra Ley de Kepler, quien demostró que el período $T$ de la órbita de radio $R$ está dado por:

$$ T^2= \frac{4 \pi^2}{GM} R^3. $$

Sin embargo, no es común y tampoco se pretende que se conozca este resultado de memoria, cuya deducción no se aleja demasiado del desarrollo que realizamos previamente. Siempre que surgen estos ejemplos repito la siguiente frase que da cuenta de lo que se debería pretender para el desarrollo del pensamiento científico:

“Quien se aprende una fórmula se halla a merced de su memoria, pero quien domina un principio podrá mantener su cabeza libre de fórmulas y podrá fabricarlas en el momento en el que las necesite” J. C. Maxwell

Calculemos la densidad media de la Tierra

Veamos qué correlato tiene la aproximación $\frac{R}{r} \approx 1$ con la realidad. Para ello, podemos calcular el cociente $R/r$ para satélites artificiales o estaciones espaciales que orbitan alrededor de nuestro planeta, cuyo radio es aproximadamente $r=6378 \text{ km}$ ¹:

Vemos que la aproximación no es descabellada. También podemos aprovechar el período orbital reportado por estos proyectos y estimar las densidades obtenidas en las relaciones (2) y (1), respectivamente.

Wow! Nada mal comparado con los $5513 \text{kg/m³}$ medidos por la NASA¹. Sobre todo teniendo en cuenta que son meras estimaciones y que las órbitas son elípticas en lugar de circulares como hemos supuesto.