2. Recorrido de un rayo

Enunciado

En una noche de tormenta escuchas un trueno que dura 3 segundos. ¿Qué distancia mínima recorrió el rayo?

Respuesta

Podemos comenzar suponiendo que la velocidad de propagación del rayo $v_r$ es muy alta respecto de la velocidad de propagación del sonido $v_s$¹. En este caso, el sonido se produce casi simultáneamente en cada punto del rayo. Así, el tiempo $\tau$ que dura el trueno, es decir, el tiempo que percibe una persona, corresponde al tiempo que pasa entre que se escucha el primer sonido de la descarga y el sonido de la última. En general, como solemos estar más cerca del último punto de descarga, ¡el trueno que escuchamos a menudo corresponde al sonido invertido del proceso de descarga.! ¿Que increíble no? La última parte de lo que escuchamos es en realidad lo primero que sucede. Cosas de la física. Bueno, no es tan así, sino que son cosas de la realidad que la física nos permite reconocer. Es decir, la física es un anteojo que nos ponemos para ver mejor.

Bajo las suposiciones del párrafo anterior, podemos tomar como ejemplo el rayo de la Figura A, donde $l$ es la longitud del rayo en el caso de que su trayectoria sea una línea recta. Esto no afecta a nuestra búsqueda, ya que estamos buscando la longitud mínima del rayo. En el mismo esquema están representadas las distancias desde el observador (punto $O$) hasta los puntos inicial ($r_1$) y final ($r_2$) de la descarga. Podemos relacionar las distancias usando el teorema del coseno (Si creíste que no servía para nada, al fin vas a verle una utilidad.)

$$ l^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos \theta, $$

donde $\theta$ es el ángulo que subtienden $r_1$ y $r_2$. Se observa que $l$ es mínimo cuando $\cos \theta$ es máximo. Es decir, cuando $\theta =0$. O, lo que es lo mismo, la distancia $l$ es mínima cuando todo sucede en una misma dirección (el rayo se dirige hacia nosotros!). Entonces:

$$ l=r_1-r_2. $$

Hasta aquí todo bien, pero ¿cómo conectamos esto con lo que escuchamos? Podemos pensar que el tiempo $\tau$ que dura del trueno coincide con la diferencia de tiempo que le lleva al sonido recorrer ambos caminos. Entonces, si el sonido recorre el camino más corto en un tiempo $t$, la distancia recorrida será $r_2 = v_s t$. Para la distancia más larga, el sonido se demora un poco más, digamos $t + \tau$, lo que nos da $r_1 = v_s (t + \tau)$. Es así que obtenemos el siguiente resultado

$$ \boxed{l=v_s \tau}, ~~~~~~ (1) $$

que nos dice que la distancia mínima que recorre el rayo coincide con la distancia que recorre el sonido mientras escuchamos el trueno. ¡Una belleza de resultado! Si no se enamoran, no tienen corazón.

Considerando que la velocidad del sonido en condiciones normales ronda los $ 340 \text{ m/s}$, si el trueno duró $3 \text{ s}$, la distancia mínima que recorrió el rayo fue de:

$$ l=340 \text{ m/s} \times 3 \text{ s}=1020 \text{ m}. $$

Generalización

Si bien el resultado anterior se basa en la suposición de que la velocidad del rayo es mucho mayor que la velocidad de propagación del sonido ($v_r \gg v_s$), también estamos en condiciones de resolver el problema de forma general para cualquier $v_r$. En ese caso, sigue valiendo que la distancia mínima recorrida corresponde al caso en que el rayo se dirige al lugar donde uno se encuentra.

Tengamos en cuenta la Figura B donde se representa que el sonido de la primer descarga recorre la distancia $r_1$ hasta a nuestros oídos ($O$) durante un tiempo $t_1$, el rayo recorre la distancia $l$ en el tiempo $t_r$ y el sonido de la descarga final viaja una distancia $r_2$ durante un tiempo $t_2$. Así, desde que se inicia la descarga pasa un tiempo $t_1$ hasta que se escucha la primer descarga y pasa un tiempo $t_r+t_2$ hasta que se escucha la última. Por lo tanto, si $v_r>v_s$, la duración del trueno estará dada por la diferencia

$$ \begin{split} \tau &= t_1-(t_r+t_2) \\ &= (t_1-t_2)-t_r. \end{split} $$

Por otro lado, la distancia $l$ se relaciona con tales tiempos a través de las siguientes relaciones:

$$ \begin{cases} \begin{split} l&=v_r t_r \\ l&=r_1-r_2=v_s (t_1-t_2). \end{split} \end{cases} $$

Si nos independizamos de los tiempos y despejamos, obtendremos el resultado buscado

$$ \begin{split} \tau &= \frac{l}{v_s}-\frac{l}{v_r} \\ v_s\tau &= \left( 1-\frac{v_s}{v_r} \right) l, \end{split} $$

es decir,

$$ \boxed{l = \frac{v_s \tau}{1-\frac{v_s}{v_r}} \text{ cuando } v_r>v_s}. $$

Se observa fácilmente que cuando $v_r \gg v_s$ este resultado general se reduce al obtenido en la relación (1) . Ahora sí, se termino la tormenta, me voy a descansar.