1. La presión de una pelota

Enunciado

Solamente cuentan con una regla rígida y una balanza sensible ¿Cómo harías para determinar la presión de una pelota de fútbol?

Respuesta original

Esta respuesta es original en el sentido de que originó el planteo del problema. Sin embargo, hay diversas opciones e ideas que se pueden explorar y pueden resultar igual más calificadas para cumplir este desafío experimental. Si en algún momento me da el tiempo escribiré sobre ellas.

Una de las cuestiones que se evidencian con el uso de la balanza, es que solemos olvidarnos del proceso de medición que conlleva y las aproximaciones que se llevan adelante cuando hacemos uso cotidiano de este instrumento. Aunque en este caso llevaremos adelante aproximaciones, no serán las mismas.

Cuando colocamos un objeto sobre una balanza, el mismo interactúa con la tierra a través de su fuerza peso $Mg$, con la balanza a través de la fuerza de contacto $N$ y finalmente el tan despreciado empuje $B$ producido por la atmósfera. Así, la balanza mide la fuerza $N$ que estará dada por el siguiente balance

$$ N = M g - B. ~~~~~~~ (0) $$

¿Por qué suele despreciarse el valor del empuje $B$? Bueno, es sencillo, el mismo equivale al peso de aire (a presión atmosférica) que ocupa el mismo volumen que el objeto y suele ser significativamente menor al de los cuerpos que pesamos en las balanzas, incluso por debajo de los errores de apreciación de tales instrumentos.

Pero, ¿qué pasa con la pelota de fútbol que está constituida por aire? ¿Podemos usar la balanza para obtener información del aire dentro y así estimar su presión?

Para entender mejor las respuesta a las preguntas del párrafo anterior hagamos una sencilla estimación al estilo de Enrico Fermi. La densidad media del aire en condiciones atmosféricas ronda los $\rho_{\text{atm}} = 1,2 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Según las reglas de la International Football Association Board (IFAB), el balón debe tener un perímetro máximo de $70 \text{ cm}$, lo cual equivale a un radio máximo de $11 \text{ cm}$ y un volumen máximo de $V = 0.006 \text{ m}^3$. También, la federación impone una masa máxima de $450 \text{ g} = 0.45 \text{ kg}$. El empuje sobre una pelota de este volumen equivale a una cantidad de masa de aire atmosférico dado por

$$ \begin{split} m_{atm} = \rho_{\text{atm}} V \approx 7 g. ~~~~~~ (1) \end{split} $$

Es decir, cuando pesamos cuerpos de un tamaño similar a un balón de futbol podemos confirmar que pesan algunos gramos más de lo que dice la balanza.

¿Qué nos dice el resultado anterior? Nos dice que una balanza de precisión es capaz de apreciar¹ la masa de aire dentro de un balón de fútbol, que al encontrarse a mayor presión tiene mayor densidad y, por lo tanto, mayor masa que el aire a presión atmosférica que ocupa el mismo volumen. Así, podemos separar el peso de la pelota en dos partes, por un lado el peso total de la cubierta y la cámara $M_c g$ y por otro el peso del aire dentro $mg$:

$$ Mg= M_cg+ mg. $$

También podemos expresar el empuje como $B=m_{\text{atm}}g$ y re-escribir la relación (0) como

$$ N = (M_c+m- m_{\text{atm}})g, $$

para reconocer que el valor de masa que entrega la balanza corresponde a

$$ M^{(b)} =M_c+m- m_{\text{atm}}. ~~~~~~ (2) $$

Este resultado nos brinda claridad sobre el proceso de medición con la balanza ¿como podemos aprovecharlo para obtener información del aire dentro? Hay tres cuestiones que debemos tener en cuenta para que este resultado de sus frutos:

• la masa de la cubierta y la cámara $M_c$ no cambia;
• cuando la pelota está desinflada, es decir, el aire en el interior se encuentra a la presión atmosférica las masa de aire coinciden $m=m_{\text{atm}}$, entonces la balanza medirá $M^{(b)}_{\text{atm}} = M_c$. En otras palabras, cuando la pelota está “desinflada” la balanza sólo mide el peso de la cubierta y la cámara²;
• cuando la pelota está inflada a al presión $p$, el volumen del aire interno es aproximadamente el volumen de la pelota, entonces la balanza medirá $M^{(b)}_p =M_c+m_p- m_{\text{atm}} = M_c+(\rho-\rho_{\text{atm}})V$, siendo $\rho$ la densidad a la presión $p$.

Así, si realizamos la medición a la presión $p$ buscada y a la presión atmosférica $p_{\text{atm}}$, la diferencia entre los valores entregados por la balanza será

$$ \Delta M^{(b)} = M^{(b)}_p - M^{(b)}_{\text{atm}} = (\rho-\rho_{\text{atm}})V. ~~~~~~ (3) $$

Por otro lado, si recurrimos a la capacidad del aire de comportarse como un gas ideal, cuando la temperatura se mantiene constante, el cociente entre la presión y la densidad del aire también lo es³:

$$ \frac{p}{\rho} =\frac{p_{\text{atm}}}{\rho_{\text{atm}}}. $$

Usemos esta última relación, y el hecho de que $m_{\text{atm}} = \rho_{\text{atm}} V$ para independizarnos de la densidad $\rho$ en la relación (3)

$$ \Delta M^{(b)} = \left( \frac{p}{p_{\text{atm}}} - 1 \right) \rho_{\text{atm}} V $$

y por lo tanto, despejando la presión

$$ \boxed{p = p_{\text{atm}} \left(1 + \frac{\Delta M^{(b)}}{\rho_{\text{atm}} V} \right)}. ~~~~~~ (4) $$

De esta forma, haciendo la diferencia entre las dos mediciones de la balanza $\Delta M^{(b)}$, midiendo el radio $r$ de la pelota con la regla y con ese valor calculando su volumen $V= \frac{4}{3} \pi r^3$ y usando valores tabulados de la presión atmosférica $p_{\text{atm}}$ y la densidad del aire en condiciones atmosféricas $\rho_{\text{atm}}$, seremos capaces de obtener la presión de la pelota.

Hasta hace algunas décadas, recurrir a los valores tabulados era algo que se sobre entendía como herramienta lícita e implícita en la resolución de problemas. También eran herramientas muy poderosas cuando no teníamos acceso a tanta información como en la actualidad.